Interpretación de la constante de movimiento geodésica

La métrica de Schwartzschild en coordenadas estándar con firma$(1,-1,-1,-1)$es dado por

$$ds^2=(1-\frac{r_s}{r})\ dt^2 - (1-\frac{r_s}{r})^{-1}\ dr^2 - r^2(d\theta^2+\sin^2\theta\ d\phi^2).$$ Como la métrica de Schwartzschild es independiente del tiempo, tiene una simetría de desplazamiento de tiempo descrita por un vector Killing $\xi^\mu$dada por $$\xi^\mu = (1,0,0,0).$$ Esto implica que una partícula en caída libre sobre una trayectoria geodésica con cuatro velocidades $P^\mu$tiene una constante de movimiento $\epsilon$dada por $$\epsilon=\xi_\mu P^\mu.$$ Entiendo que $\epsilon$puede interpretarse como la energía de la partícula medida por un observador estacionario lejos del origen, donde la métrica es plana, con cuatro velocidades $U^\mu=\xi^\mu$.

¿Se puede interpretar también$\epsilon$como la energía de la partícula medida por un observador local que está en caída libre con la partícula?

Supongo que uno debe transformarse de alguna manera$\epsilon=\xi_\mu P^\mu$a las coordenadas locales del observador en caída libre.