¿Por qué reemplazar los vectores de base bra y ket por sus representaciones de fila y columna da una representación de matriz incorrecta en una base no ortogonal?

Si$|\phi⟩$y$|\psi⟩$son linealmente independientes, entonces siempre es posible asignarlos a los vectores columna

$$|\phi⟩\mapsto\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} \text{ and } |\psi⟩\mapsto\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix},$$ pero si no son ortogonales, obviamente necesitará trabajar más en la representación del producto interno en esta base.

La forma más limpia de hacerlo es volver a pensar en los sujetadores.$⟨\phi|$y$⟨\psi|$como la base dual para el espacio dual de$\mathcal H$. Por lo tanto, son funcionales lineales sobre$\mathbb C^2$, representado por vectores fila

$$⟨\phi|\mapsto\left(a\,\,\,b\right) \text{ and } ⟨\psi|\mapsto\left(c\,\,\,d\right).$$ Los coeficientes en estos covectores están fijados por el requisito de que $⟨\phi|$y $⟨\psi|$reproducir el antiguo producto escalar: $$\begin{align} \left(a\,\,\,b\right)\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}&=1,\quad& \left(a\,\,\,b\right)\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}&=⟨\phi|\psi⟩, \\ \left(c\,\,\,d\right)\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}&=⟨\psi|\phi⟩,\quad& \left(c\,\,\,d\right)\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}&=1. \end{align}$$ Esto fija la representación como $$⟨\phi|\mapsto\left(1\,\,\,⟨\phi|\psi⟩\right) \text{ and } ⟨\psi|\mapsto\left(⟨\psi|\phi⟩\,\,\,1\right).$$

Habiendo hecho esto, obtienes la representación correcta para$H$:

$$H=|\phi⟩⟨\phi|+|\psi⟩⟨\psi|= \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\left(1\,\,\,⟨\phi|\psi⟩\right) + \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\left(⟨\psi|\phi⟩\,\,\,1\right) = \begin{pmatrix} 1 & \langle \phi|\psi \rangle \\ \langle \psi|\phi \rangle & 1 \end{pmatrix}.$$