Confusión sobre la interpretación de los valores esperados en la mecánica cuántica

A pesar de la aparente similitud, el valor esperado y la probabilidad de transición no son lo mismo. Se vuelve más claro cuando expresas estas cantidades en términos de operadores de densidad.$\hat{\rho}=|\psi\rangle\langle\psi|$. El valor esperado es entonces

$$\langle \hat{O}\rangle = \langle\psi| \hat{O}|\psi\rangle = \text{tr}\{ \hat{O}\hat{\rho}\} .$$ La evolución unitaria del estado ahora está representada por $$\hat{\rho}(t) = \hat{U}(t)\hat{\rho}(0)\hat{U}^{\dagger}(t) ,$$ donde (usando su convención)$\hat{U}(t)=\exp(-i\hat{H}t)$. Entonces la probabilidad de transición se convierte en $$\text{tr}\{\hat{\rho}(0)\hat{\rho}(t)\} = \text{tr}\{\hat{\rho}(0)\hat{U}(t)\hat{\rho}(0)\hat{U}^{\dagger}(t)\} ,$$ que es el módulo cuadrado de la amplitud de transición que calculaste. Para calcular el valor esperado de un observable con el estado de evolución, necesitamos $$\text{tr}\{\hat{O}\hat{\rho}(t)\} = \text{tr}\{\hat{O}\hat{U}(t)\hat{\rho}(0)\hat{U}^{\dagger}(t)\} .$$ Tenga en cuenta que esto representa la imagen de Schroedinger. La misma expresión se puede interpretar en la imagen de Heisenberg incorporando los operadores unitarios en el observable, de modo que $$\hat{O}(t) = \hat{U}^{\dagger}(t)\hat{O}\hat{U}(t) .$$