Derivar ecuaciones de Schwinger-Dyson en Srednicki

Consideremos un solo campo escalar por simplicidad. El siguiente paso es una mala aplicación de la derivada funcional:

$$\begin{align} \delta Z(J) = \frac{\delta Z}{\delta\phi(x)}\delta\phi(x) \end{align}$$ Por definición, sólo se puede tomar la derivada funcional de un funcional $F$con respecto a $\phi$si $F$es un funcional de $\phi$. el funcional $Z$no es un funcional de $\phi$porque $\phi$se está integrando en la integral funcional.

Lo que está pasando aquí es un cambio de variables en la integral funcional. Se supone que la medida es invariante bajo este cambio de variables, así que lo que queda es que los términos dentro de la exponencial pueden cambiar. Para tratar el término que implica$S$, observamos que bajo el cambio de variables$\phi \to \phi + \delta\phi$, la acción cambia de la siguiente manera:

$$\begin{align} S[\phi] \to S[\phi + \delta \phi] = S[\phi] + \delta S[\phi] + O(\delta\phi^2) \tag{A} \end{align}$$ y por buen comportamiento $S$, el cambio de primer orden del lado derecho (a saber $\delta S$) se puede escribir como la integral de la derivada funcional de $S$con respecto a $\phi$. Para ver esto, supongamos, por ejemplo, que $S$es la integral de una densidad lagrangiana local en función del campo y su derivada; $$\begin{align} S[\phi] = \int d^4x\, \mathscr L(\phi(x), \partial\phi (x)) \tag{B} \end{align}$$ entonces, bajo condiciones de contorno apropiadas, obtenemos $$\begin{align} \delta S[\phi] = \int d^4x\, \left[\frac{\partial\mathscr L}{\partial \phi} -\partial_\mu \frac{\partial\mathscr L}{\partial(\partial_\mu\phi)}\right] \delta\phi(x) \tag{C} \end{align}$$ por otro lado, fíjate que $$\begin{align} \int d^4x\frac{\delta S}{\delta\phi(x)}\delta \phi(x) &= \int d^4x \,\delta\phi(x)\int d^4y \left[\frac{\partial\mathscr L}{\partial\phi}\frac{\delta\phi(y)}{\delta\phi(x)}+\frac{\partial\mathscr L}{\partial(\partial_\mu\phi)}\partial_\mu\frac{\delta\phi(y)}{\delta\phi(x)}\right] \\ &= \int d^4x \,\delta\phi(x)\int d^4y \left[\frac{\partial\mathscr L}{\partial\phi}\delta(x-y)+\frac{\partial\mathscr L}{\partial(\partial_\mu\phi)}\partial_\mu\delta(x-y)\right]\\ &= \int d^4x\, \left[\frac{\partial\mathscr L}{\partial \phi} -\partial_\mu \frac{\partial\mathscr L}{\partial(\partial_\mu\phi)}\right] \delta\phi(x) \end{align}$$ así que en resumen, encontramos que $$\begin{align} \delta S[\phi] = \int d^4x\, \left[\frac{\partial\mathscr L}{\partial \phi} -\partial_\mu \frac{\partial\mathscr L}{\partial(\partial_\mu\phi)}\right] \delta\phi(x) \tag{D} \end{align}$$ como se señala en Srednicki.

notas Usé integración por partes y la siguiente identidad derivada funcional en los cálculos anteriores:

$$\begin{align} \frac{\delta\phi(x)}{\delta\phi(y)} = \delta(x-y) \end{align}$$ lo cual se puede demostrar a partir de la definición de la derivada funcional.

I) La mencionada integral$\color{Red}{\int \!\mathrm{d}^4x}$en el lado derecho de la ec. (B) realmente debería estar allí. Si definimos la acción como

$$\tag{1}S_J[\phi]~:=~S[\phi]+\int \!\mathrm{d}^4x~ J_a(x) \phi^a(x),$$

entonces la variación infinitesimal de la acción se lee

$$\tag{2}\delta S_J~=~ \color{Red}{\int \!\mathrm{d}^4x} ~\frac{\delta S_J}{\delta \phi^a(x)} ~\delta \phi^a(x).$$

Las derivadas funcionales dentro de (2) son análogas a las derivadas parciales de la teoría de funciones$f=f(z)$en varias variables$z\in \mathbb{R}^n$. En este último, una variación infinitesimal dice

$$\tag{3} \delta f(z)~=~\color{Red}{\sum_{i=1}^n} \frac{\partial f(z)}{\partial z^i}\delta z^i.$$

La diferencia es que la suma$\color{Red}{\sum_{i=1}^n}$en (3) se reemplaza por una integral$\color{Red}{\int \!\mathrm{d}^4x}$en (2) para explicar el hecho de que ahora tenemos infinitas variables$\phi^a(x)$(Opuesto a$z^i$), etiquetado por un índice continuo$x\in \mathbb{R}^4$(a diferencia de un índice discreto$i$).

II) Otro problema es que no se puede reemplazar la integral de trayectoria en el lado derecho de la ecuación de OP. (B) con$Z[J]$ya que se supone que la integral de trayectoria se integra sobre el resto del lado derecho.