Sabemos que mientras hacemos la integral de trayectoria para una partícula libre que se mueve en una dimensión, , dónde es el cambio de posición en el tiempo , es la masa del cuerpo y es la constante de Planck.
Ahora, según la ecuación de de Broglie,
Intuitivamente, esto significa que el núcleo de una partícula en un punto está relacionado con la fase de la onda asociada con la partícula en el punto a medida que toma la ruta clásica para moverse.
Pero, sabemos que con mayor precisión, la ecuación de de Broglie está dada por,
Entonces, para retener el significado físico del Kernel, acción relativista para partículas libres
Una razón práctica por la que no se usa la acción relativista es que hará que cualquier problema sea realmente complicado.
Entonces, mi pregunta es: idealmente hablando, ¿no es correcto y necesario el uso de la acción relativista al calcular el núcleo en la formulación integral de trayectoria de la mecánica cuántica?
Dado que la respuesta a la pregunta anterior es sí, tengo algunos puntos a tener en cuenta. Si usamos la acción relativista, entonces considerar velocidades de movimiento mayores que la de la luz se volverá innecesario porque la acción de tal movimiento se volverá imaginaria. Esto debería aliviarnos un poco de la obligación de considerar trayectorias con velocidades infinitas en la integral de trayectoria.
Pero se puede objetar que se descuiden las velocidades superiores a la de la luz al hacer la integral de trayectoria. ¿Cómo puede un solo fotón interferir consigo mismo en el experimento de la doble rendija si no consideramos que uno de los caminos que toma tiene una velocidad más rápida que la de la luz para alcanzar al otro camino más corto? Podemos resolver este problema considerando que es el camino más largo en el que la partícula viaja a la velocidad de la luz, mientras que tiende a demorarse y perder un poco de tiempo en el camino más corto para compensar la desigualdad en las longitudes de los caminos.
La propuesta del último párrafo puede probarse como verdadera o falsa estudiando en detalle el patrón de interferencia del experimento de doble rendija de un solo fotón. Lamentablemente, no pude encontrar una descripción detallada del patrón de interferencia en ninguno de los documentos que encontré.
Quiero decir que aprecio que haya llegado al Lagrangiano de partículas libres relativista correcto a través de la mecánica cuántica, pero, por supuesto, no necesita llegar a él desde ese lugar.
Parafraseando, diría que su pregunta general es: "Supongamos que tenemos un experimento de doble rendija, un emisor dispara una partícula entre dos rendijas , a algún detector descentrado más cerca a . Específicamente, dado que está descentrado, queremos que haya una diferencia en las distancias. . Ahora supongamos que aguas arriba de de alguna manera detectamos el momento preciso en que la partícula fue emitida desde , para que sepamos su tiempo de tránsito a través de cualquier ruta al detector , y tal vez podamos apagar la detección en algún momento intermedio (tal vez simplemente apagando el detector al azar y luego procesando para encontrar casos en los que el detector realmente se apagó entre los dos conos de luz, cuando solo las señales de una rendija podrían haberlo alcanzado) . Entonces: ¿no podemos filtrar los datos a esta estrecha ventana de tiempo entre el momento en que se detectan las partículas de las rendijas 1 y 2? ¿Qué veríamos?"
Bueno, creo que este experimento es intencionalmente difícil de reproducir. La respuesta teórica es que, de hecho, si puede filtrar este intervalo de tiempo muy, muy corto, estos datos idealmente no deberían mostrar un patrón de interferencia: de hecho, las funciones de onda de los electrones están confinadas dentro del cono de luz y las energías (¡negativas!) necesarias para asegurar esto El confinamiento es la razón por la que Dirac predijo los positrones, así que ahí tienes al menos un ejemplo de confirmación experimental de las consecuencias de esta idea.
Probablemente la mejor configuración sería incrustar un pequeño emisor de positrones dentro de un bloque de materia normal dentro de una caja en , luego verifique el fotón entrelazado emitido desde el otro lado: los fotones de aniquilación de electrones y positrones deben tener un impulso casi opuesto para satisfacer la conservación del impulso, por lo que las direcciones son opuestas y usted sabe que el otro fotón fue hacia el detector . Entonces también sabes la distancia a del emisor del otro lado y sabes que los fotones viajaron a una velocidad , por lo que tiene todo lo que necesita para una medición precisa del tiempo de la emisión.
Sin embargo, creo que te encuentras con problemas de incertidumbre aquí. Es algo espacialmente necesario que la función de onda del fotón no se pueda limitar a una distancia de menos de unas pocas longitudes de onda; esta es la relación de incertidumbre de posición-momento (recuerde que el momento define con precisión f y lambda, por lo que estamos hablando de cuán puramente monocromática es la luz con nuestra incertidumbre de momento). Presumiblemente, esto debe tener en cuenta una breve incertidumbre de tiempo sobre cuándo es probable que se absorba el fotón, y esta incertidumbre de tiempo debería ser del mismo orden que la brecha entre los tiempos de tránsito entre y contra porque ese espacio es una proyección de la distancia entre las dos rendijas, pero generalmente se ve esta difracción cuando el espacio es aproximadamente del tamaño de unas pocas longitudes de onda. A medida que extiende las rendijas, presumiblemente lo hace cada vez más difícil para el fotón que va desde hacia para golpear ambas rendijas a la vez.
Así que tengo la sensación de que el patrón de interferencia de doble rendija solo es posible precisamente porque todas las incertidumbres son tan amplias que normalmente no se puede hacer este experimento en la práctica, y cualquier intento de reducir esas incertidumbres para eliminar el patrón de interferencia necesariamente tendrá un efecto negativo. explicación alternativa en términos de los aros por los que tuvo que pasar para llegar allí. La mecánica cuántica es notoriamente difícil de "precisar" así.
El Lagrangiano relativista para una partícula libre es
qmecanico