Integral de trayectoria de estados coherentes de osciladores armónicos

Estoy estudiando las notas proporcionadas por Ben Simons en este enlace ( http://www.tcm.phy.cam.ac.uk/~bds10/tp3.html ). Actualmente estoy en la lección 16 (Aplicaciones y conexiones). El libro de texto correspondiente es Teoría del campo de materia condensada (Cap. 4). La primera página deriva la función de partición para el oscilador armónico a través de una parametrización

$$\psi(\tau) = \sqrt{\frac{m\omega}{2 \hbar}}\left(q(\tau) + \frac{ip(\tau)}{m\omega} \right).$$ Esto significa que $$\bar{\psi}(\tau) = \sqrt{\frac{m\omega}{2 \hbar}}\left(q(\tau) - \frac{ip(\tau)}{m\omega} \right).$$

Esto se confirma en la lección 16 (página 1) cuando el autor muestra

$$\hbar \omega \bar{\psi}\psi = \frac{m\omega^2}{2}\left(q^2 + \frac{p^2}{m^2\omega^2}\right).$$

La conferencia en pdf afirma que la función de partición se puede escribir como:

$$Z = \int D[\bar{\psi},\psi]exp\left[-\int_{0}^{\beta}(\bar{\psi}\partial_\tau\psi + \hbar \omega\bar{\psi}\psi)\right] = \int D[p,q] exp\left[-\int_{0}^\beta d\tau\left(\frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2 q^2 - \frac{ip\dot{q}}{\hbar}\right)\right].$$

Mi objetivo es probar esta igualdad. Para ello sustituí las parametrizaciones de$\psi$y$\bar{\psi}$y encontró que la integral de acción en$e^{-action}$ser

$$\int_0^\beta \frac{m\omega}{\pi \hbar} \bigg[q\dot{q} + \frac{i\dot{p}q}{m\omega} - \frac{ip\dot{q}}{m\omega} + \frac{p\dot{p}}{m^2\omega^2} + \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2 q^2\bigg].$$

Usando integración por partes en el segundo término obtuve:

$$\int_0^\beta \frac{m\omega}{\pi \hbar} \bigg[ \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2 q^2 - \frac{ip\dot{q}}{m\omega} - \frac{ip\dot{q}}{m\omega} + q\dot{q} + \frac{p\dot{p}}{m^2\omega^2}\bigg].$$

Algunas partes de esta integral son iguales a la expresión reivindicada en la lección 16 pdf. Esto parece sugerir que

$$D[p,q] = D[\bar{\psi}, \psi]exp\left[\frac{m\omega}{\pi \hbar}\left(- \frac{ip\dot{q}}{m\omega} + q\dot{q} + \frac{p\dot{p}}{m^2\omega^2}\right)\right].$$ Sin embargo, no sé cómo probar esto. ¿Alguien puede explicar por qué la siguiente igualdad es cierta?

$$Z = \int D[\bar{\psi},\psi]exp\left[-\int_{0}^{\beta}(\bar{\psi}\partial_\tau\psi + \hbar \omega\bar{\psi}\psi)\right] = \int D[p,q] exp\left[-\int_{0}^\beta d\tau\left(\frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2 q^2 - \frac{ip\dot{q}}{\hbar}\right)\right].$$