Límite semiclásico de la mecánica cuántica

A menudo me encuentro desconcertado con las diferentes definiciones que se dan a los " límites semiclásicos " en el contexto de la mecánica cuántica, en otras palabras, límites que eventualmente convierten la mecánica cuántica en mecánica clásica.

De una manera ondulada a mano

  • El límite clásico o semiclásico corresponde al límite de tomar ℏ → 0.
  • A menudo cuando se habla del principio de correspondencia , el límite semiclásico se obtiene en el límite de los grandes números cuánticos (grandes órbitas y energías).

Más precisamente

  • Fuente ejemplar de confusión: una forma de mostrar por qué ℏ → 0 describe un límite clásico, es como sigue:

toma el 1 D Ecuación de Schrödinger para una partícula de masa metro en un potencial V ( X → ) :

i ℏ ∂ ∂ t ψ ( X → , t ) = [ − − ℏ 2 2 metro ∇ → 2 + V ( X → ) ] ψ ( X → , t )

insertando ψ ( X → , t ) = mi i S ( X → , t ) / ℏ en la ecuación de Schrödinger anterior, y simplificando para ψ , obtenemos:

− ∂ S ∂ t = 1 2 metro ( ∇ → S ) 2 − i ℏ 2 metro ( ∇ → 2 S ) + V
ahora tomando ℏ → 0 , lo anterior se convierte en la ecuación de Hamilton-Jacobi clásicamente conocida , donde S describe la función principal de Hamilton o la acción:

− ∂ S ∂ t = 1 2 metro ( ∇ → S ) 2 + V
Usando tal resultado, entonces podemos usar un ℏ Expansión de S en la segunda ecuación. Desafortunadamente, no veo por qué llegar a la ecuación de Hamilton-Jacobi implica necesariamente un comportamiento clásico.

  1. Alternativamente, uno habla de los límites clásicos de QM diciendo: Cuando el cuanto de Planck ℏ se vuelve muy pequeño en comparación con los valores de la integral de acción lagrangiana ( formalismo de la integral de trayectoria de Feynman ). Probablemente no debería preguntar esto (ya que la discusión es bastante vaga aquí), pero ¿hay alguna forma clara de demostrar matemáticamente la idea anterior? (por ejemplo, mostrando si dicho límite conduce necesariamente a la decoherencia cuántica y, por lo tanto, las trayectorias clásicas se vuelven dominantes).

  2. Finalmente, son las dos declaraciones de ℏ → 0 y tomando el límite de números cuánticos altos de alguna manera equivalente? (es decir, una reformulación de uno al otro?)

Por supuesto, cualquier otra forma (ya sea física o matemática) de pensar y comprender los límites semiclásicos de la mecánica cuántica también es bienvenida como respuesta.

@Phonon podemos usar la función Winger e interpretar la función de onda en sí misma en el límite clásico. Hacer esto y manipular la integral produciría las ecuaciones del espacio de fase bajo la condición de que ℏ → 0

Respuestas (2)

Primero, los adjetivos clásico y semiclásico no son del todo sinónimos. "Semiclásico" significa un tratamiento de un sistema cuántico cuya parte se describe clásicamente y otra parte mecánicamente cuántica. Los campos pueden ser posiciones de partículas clásicas dentro de los campos mecánicos cuánticos; el campo métrico puede ser clásico y otros campos de materia son mecánicos cuánticos, y así sucesivamente.

Además, a menudo tratamos la "parte cuántica" del tratamiento semiclásico en otra aproximación, donde tomamos el comportamiento clásico principal más la primera corrección cuántica solamente. Para esta parte del sistema, "semiclásico" significa "aproximación de un bucle" (como en la aproximación WKB).

Ahora bien, puede demostrarse que las leyes de la mecánica cuántica implican las leyes de la física clásica para todas las "preguntas clásicas" siempre que ℏ → 0 . Más propiamente, ℏ → 0 de hecho significa j / ℏ → ∞ para todos los "momentos angulares" normales j , acciones S (en vez de j ), y todo lo demás con las mismas unidades. Así que sí, de hecho, el ℏ → 0 límite clásico y el límite de los grandes números cuánticos es lo mismo. No es kosher preguntar si una cantidad dimensional como ℏ es mucho más pequeño que uno; si el valor numérico es pequeño depende de las unidades. Entonces debemos hacer estas afirmaciones sobre "muy pequeño" o "muy grande" sin dimensiones, y es por eso que no solo necesitamos ℏ pero también j o S del problema real, y es por eso que todas las desigualdades que dictan el límite clásico que mencionaste son equivalentes.

En este límite, los espectros se vuelven tan densos que los observables (como la energía del átomo de hidrógeno) son efectivamente continuos aunque sean discretos en el tratamiento cuántico exacto. Las ecuaciones de movimiento de Heisenberg para los operadores se reducen a las ecuaciones de movimiento clásicas. La decoherencia garantiza que con algún entorno, las entradas diagonales de la matriz de densidad pueden interpretarse como probabilidades clásicas, y las fuera de la diagonal rápidamente se vuelven cero. Siempre podemos imaginar que las funciones de onda en este límite son "paquetes estrechos" cuyo ancho es despreciable y cuyo centro se mueve de acuerdo con las ecuaciones clásicas. Simplemente funciona.

Uno debe comprender todos los aspectos de esta prueba de que "la física clásica es un límite de la mecánica cuántica", lo que asume, cómo debemos hacer las preguntas y traducirlas de un formalismo a otro, etc. Pero al final, el hecho de que esta afirmación se cumpla es más importante que algunos detalles técnicos de la prueba.

Históricamente, la ecuación de Hamilton-Jacobi es una forma de describir la física clásica porque se descubrió y demostró ser equivalente a la física clásica mucho antes de que se encontrara por primera vez la teoría cuántica. Matemáticamente, puedes ver que la ecuación de Hamilton-Jacobi solo contiene las cantidades que realmente podemos medir con aparatos clásicos como S , t , V , metro etc. y no depende de ℏ en absoluto, incluso si usa las unidades SI, por ejemplo, lo que prueba que la ecuación es independiente de la mecánica cuántica.

Hay muchas cosas que decir sobre el límite clásico de la mecánica cuántica y algunas clases más específicas de teorías mecánicas cuánticas, ver, por ejemplo.

http://motls.blogspot.com/2011/11/how-classical-fields-particles-emerge.html?m=1

Muy bien escrito y respondido...+1

Hay resultados matemáticamente rigurosos respecto al límite semiclásico de las teorías cuánticas. De hecho, es un tema de investigación en curso e interesante en física matemática. Sin embargo, debe estar bastante versado en el análisis para comprender los resultados. La bibliografía es bastante amplia, pero me gustaría mencionar los siguientes resultados (algunos bastante antiguos):

Espacio de fase de dimensión finita (mecánica cuántica):

  • Hepp 1974 Método de estados coherentes.

  • Helffer, Martínez y Robert 1987, en francés . Utiliza el llamado enfoque de medida de Wigner.

  • Figalli, Ligabo, Paul 2010 . Enfoque moderno de las medidas de Wigner, tratando con potenciales aproximados.

Espacio de fase de dimensión infinita (QFT bosónico)

  • Ginibre y Velo 1979 Extensión de la obra de Hepp a dimensiones infinitas.

  • Ammari y Nier 2007 Medidas de Wigner de dimensión infinita.

  • Jerarquía BBGKY: revisión por Golse (límite de campo medio, que equivale matemáticamente al límite semiclásico)

Además, estas diapositivas de Francis Nier pueden resultar útiles para obtener una descripción general rápida de las medidas de Wigner de dimensión finita e infinita.

No intentaré explicar las ideas, porque sería muy técnico y muy largo. Sin ser más preciso, te puedo decir que investigan de manera rigurosa el límite ℏ → 0 (o de manera equivalente también cuando norte → ∞ , dónde norte es el número de partículas en el sistema), para probar que la dinámica cuántica unitaria lineal se reduce, en el límite, a la dinámica clásica no lineal. Lo siento pero no tengo tiempo para decir más que eso ;-)

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