Discretizando la acción para la integral de trayectoria de Feynman

Question

Discretizando la acción para la integral de trayectoria de Feynman

acción
Física
integral de trayectoria
mecánica cuántica
oscilador armónico
formalismo lagrangiano

Juan Dumancic

Estoy tratando de entender cómo calcular integrales de ruta, dado un Lagrangiano. Entiendo cómo se hace para la partícula libre, pero estoy confundido para otras acciones. Tengo problemas para entender cómo descomponer la acción en subintervalos. Entiendo cómo hacer esto para la partícula libre:

\begin{matrix} (1) & S = \frac{metro}{2} \frac{(X_{b} - X_{a})^{2}}{t_{b} - t_{a}} \to \frac{metro}{2} \sum_{i = 1}^{norte} \frac{(X_{i + 1} - X_{i})^{2}}{ϵ} \end{matrix}

$S=\frac{m}{2}\frac{(x_b-x_a)^2}{t_b-t_a}\to\frac{m}{2}\sum_{i=1}^N\frac{(x_{i+1}-x_i)^2}{\epsilon}\tag{1}$ dónde,

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} ϵ & = t_{i + 1} - t_{i} \\ norte ϵ & = t_{b} - t_{a} \\ t_{0} & = t_{a} \\ t_{norte} & = t_{b} \\ X_{0} & = X_{a} \\ X_{norte} & = X_{b} \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} \epsilon & = t_{i+1}-t_i \\ N\epsilon & = t_b - t_a \\ t_0 &= t_a \\ t_N & = t_b \\ x_0 &= x_a \\ x_N &= x_b \end{align}\tag{2}$ Sin embargo, tengo problemas para entender cómo hacer esto para casos más generales. Por ejemplo, la acción clásica del oscilador armónico es

\begin{matrix} (3) & S = \frac{metro ω}{2 pecado ω T} ((X_{1}^{2} + X_{2}^{2}) porque ω T - 2 X_{1} X_{2}) . \end{matrix}

$S=\frac{m\omega}{2\sin\omega T}\left(\left(x_1^2+x_2^2\right)\cos\omega T -2x_1x_2\right).\tag{3}$ Traté de hacer esto discreto de la siguiente manera:

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} S = & \frac{metro ω}{2 pecado ω T} ((X_{1}^{2} + X_{2}^{2}) porque ω T - 2 X_{1} X_{2}) \\ \to & \frac{metro ω}{2 pecado ω ϵ} \sum_{i = 1}^{norte} ((X_{i + 1}^{2} + X_{i}^{2}) porque ω ϵ - 2 X_{i + 1} X_{i}) . \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align}S=&\frac{m\omega}{2\sin\omega T}\left(\left(x_1^2+x_2^2\right)\cos\omega T -2x_1x_2\right)\cr \to&\frac{m\omega}{2\sin\omega\epsilon}\sum_{i=1}^N\left(\left(x_{i+1}^2+x^2_i\right)\cos\omega\epsilon-2x_{i+1}x_i\right).\end{align}\tag{4}$ Por lo tanto, la integral de trayectoria se convierte en

\begin{aligned} tu (X_{b}, t_{b}, X_{a}, t_{a}) = & \underset{ϵ \to 0}{límite} \frac{1}{A} \int \dots \iint Exp (\frac{i}{ℏ} \frac{metro ω}{2 pecado ω ϵ} \sum_{i = 1}^{norte} ((X_{i + 1}^{2} + X_{i}^{2}) porque ω ϵ - 2 X_{i + 1} X_{i})) \\ (5) & \times \frac{d X_{1}}{A} \frac{d X_{2}}{A} \dots \frac{d X_{norte - 1}}{A} \end{aligned}

$\begin{align}U(x_b,t_b,x_a,t_a)=&\lim_{\epsilon\to 0}\frac{1}{A}\int\cdots\iint\exp\left(\frac{i}{\hbar}\frac{m\omega}{2\sin\omega\epsilon}\sum_{i=1}^N\left(\left(x_{i+1}^2+x^2_i\right)\cos\omega\epsilon-2x_{i+1}x_i\right)\right)\cr &\times\frac{\mathrm{d}x_1}{A}\frac{\mathrm{d}x_2}{A}\cdots\frac{\mathrm{d}x_{N-1}}{A}\tag{5}\end{align}$

\begin{matrix} (6) & A = {(\frac{2 π i ℏ ϵ}{metro})}^{\frac{1}{2}} . \end{matrix}

$A=\left(\frac{2\pi i\hbar\epsilon}{m}\right)^{\frac{1}{2}}.\tag{6}$

Sin embargo, cuando evalué la integral para $x_1$ , obtuve lo siguiente:

\begin{matrix} (7) & \sqrt{\frac{metro pecado ω ϵ}{2 i π ℏ 2 ϵ^{2} ω porque ω ϵ}} Exp (\frac{i ω metro}{2 ℏ pecado (2 ω ϵ)} ((X_{0}^{2} + X_{2}^{2}) porque 2 ω ϵ - 2 X_{0} X_{2})) . \end{matrix}

$\sqrt{\frac{m\sin\omega\epsilon}{2i\pi\hbar~2\epsilon^2\omega\cos\omega\epsilon}}\exp\left(\frac{i\omega m}{2\hbar \sin(2\omega\epsilon)}\left(\left(x_0^2+x_2^2\right)\cos2\omega\epsilon-2x_0x_2\right)\right).\tag{7}$ En comparación con el propagador real, que se encuentra a continuación, veo que hice algunas cosas bien, pero el factor de normalización está mal. ¿Qué hice mal?

\begin{matrix} (8) & tu (X_{b}, t_{b}, X_{a}, t_{a}) = \sqrt{\frac{metro ω}{2 π i ℏ pecado ω T}} Exp (\frac{i metro ω}{2 ℏ pecado ω T} ((X_{a}^{2} + X_{b}^{2}) porque ω T - 2 X_{a} X_{b})) . \end{matrix}

$U(x_b,t_b,x_a,t_a)=\sqrt{\frac{m\omega}{2\pi i\hbar\sin\omega T}}\exp\left(\frac{im\omega}{2\hbar\sin\omega T}\left(\left(x_a^2+x_b^2\right)\cos\omega T -2x_ax_b\right)\right).\tag{8}$ PD Estoy usando Mecánica Cuántica e Integrales de Ruta, Feynman y Hibbs para aprender esto.

Respuestas (2)

Discretizando la acción para la integral de trayectoria de Feynman

octonión · Answer 1

La acción que va en la integral de trayectoria es una funcional de la trayectoria $x(t)$ . A saber,

S [X (t)] = \int_{0}^{T} d t \frac{metro}{2} ({\dot{X}}^{2} - ω^{2} X^{2})

$S[x(t)]=\int_0^T dt \frac{m}{2}\left(\dot{x}^2-\omega^2 x^2\right)$ que se puede discretizar de forma muy sencilla

S = \frac{metro}{2} \sum_{i = 1}^{norte} \frac{(X_{i + 1} - X_{i})^{2}}{ϵ} - ϵ ω^{2} X_{i}^{2}

$S=\frac{m}{2}\sum_{i=1}^N\frac{(x_{i+1}-x_i)^2}{\epsilon}-\epsilon\omega^2 x_i^2$

El $x$ en esta acción no es necesariamente una trayectoria clásica, pero sigue siendo la acción que aparece en la mecánica clásica y conduce a la ecuación de movimiento del oscilador armónico a través de la ecuación de Euler-Lagrange.

Estabas confundiendo este funcional de acción con el valor numérico del funcional de acción evaluado en el camino clásico

S [X_{C yo}] = \frac{metro ω}{2 pecado ω T} ((X_{1}^{2} + X_{2}^{2}) porque ω T - 2 X_{1} X_{2})

$S[x_{cl}]=\frac{m\omega}{2\sin\omega T}\left(\left(x_1^2+x_2^2\right)\cos\omega T -2x_1x_2\right)$

Esto es solo un número (aunque un número que depende de las condiciones de contorno). No hay $x(t)$ que aparece en él, por lo que no puede variarlo para obtener ecuaciones de Euler-Lagrange, y no puede integrarlo en una integral de trayectoria.

qmecanico · Answer 2

En cuanto al Gaussiano único $x_1$ la integración va, OP está haciendo lo correcto (hasta posibles errores tipográficos) en eq. (7). Sin embargo, dado que el incremento de tiempo
$\begin{matrix} (i) & ϵ ≪ ω^{- 1} \end{matrix}$ $\epsilon~\ll~ \omega^{-1}\tag{i}$ se supone que es pequeño (para que el factor de fudge de Feynman $1/A$ para ser válido), tenemos bajo la raíz cuadrada $\begin{matrix} (ii) & \frac{pecado (ω ϵ)}{2 ϵ^{2} ω porque (ω ϵ)} \approx \frac{1}{2 ϵ} \approx \frac{ω}{pecado (ω 2 ϵ)}, \end{matrix}$ $\frac{\sin (\omega \epsilon)}{2\epsilon^2\omega\cos (\omega \epsilon)}~\approx~\frac{1}{2\epsilon}~\approx~\frac{\omega }{\sin (\omega 2\epsilon)}, \tag{ii}$ de acuerdo con la fórmula de Feynman (8) para el oscilador armónico. Consulte también esta publicación Phys.SE relacionada.
Es posible extender el resultado de 2 a $N$ incrementos de tiempo, consulte, por ejemplo, esta publicación de Phys.SE. La idea conceptual formal de Feynman es reemplazar la acción fuera del caparazón $I[x;t_a;t_b]$ en el camino integral con la suma discretizada de acciones en el caparazón $\sum_{i=1}^N S(x_i,t_i;x_{i-1},t_{i-1})$ ; luego integre sobre todas las posiciones intermedias $x_1, \ldots, x_{N-1}$ ; y al final tomar el límite continuo $N\to\infty$ .

Entonces, ¿estaba en lo correcto al conectar la acción clásica como discreta, y no debería hacerse como en la otra respuesta?
@Tesseract, No, a pesar de que la respuesta de Qmechanics aquí quizás sea otra forma correcta de tratar la integral de ruta, mi respuesta fue correcta y es cómo se trata normalmente la integral de ruta.

Discretizando la acción para la integral de trayectoria de Feynman

Juan Dumancic

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Juan Dumancic

qmecanico

octonión

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