¿Puede la acción clásica de un electrón en un campo magnético constante ser periódicamente infinita para diferentes valores de tiempo?

El movimiento en el$x$,$y$avión sigue un círculo. Deja que este círculo tenga radio.$R$. La ecuación de movimiento se sigue de la fuerza de Lorentz

$$\boldsymbol{F} = \frac{e}{c} \boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B}.$$

La fuerza es centrípeta, por lo que su magnitud es$mv^2/R$, y la ecuación de movimiento es

$$\frac{m v^2}{R} = \frac{eBv}{c}.$$

Por lo tanto, la partícula se mueve en el círculo con velocidad

$$v = \frac{e B R}{m c},$$

y el período de un ciclo en el$x$,$y$avión es

$$\Delta t = \frac{2\pi R}{v} = \frac{2 \pi m c}{e B} = \frac{2\pi}{\omega}.$$

Los múltiplos enteros de este período son precisamente los valores de$T$para cual$\tan(\omega T/2) = 0$. Ahora considere el término preocupante en la acción clásica:

$$\frac{\omega/2}{\tan(\omega T/2)} \left( (x_b - x_a)^2 + (y_b - y_a)^2 \right).$$

Cuando$T = n\Delta t = 2\pi n/\omega$, este término no necesariamente diverge, porque la partícula ha vuelto a su punto de partida donde$x_a = x_b$y$y_a = y_b$, por lo que este término en realidad se aproxima a la forma indeterminada$0/0$.

Para simplificar esta forma indeterminada, elijamos coordenadas tales que$t_a = 0$y$t_b = T$, y el movimiento toma la forma

$$x(t) = \cos(\omega t), \quad y(t) = \sin(\omega t).$$

Entonces

$$\begin{align} (x_b - x_a)^2 + (y_b - y_a)^2 &= (\cos(\omega T)-1)^2 + \sin(\omega T)^2 \\ &= 2 - 2 \cos(\omega T). \end{align}$$

Por tanto, el término de la acción es

$$\frac{\omega}{2} \frac{2 - 2 \cos(\omega T)}{\tan(\omega T/2)} = \omega\sin(\omega T),$$

que es finito para todos$T$. El problema que identificó en$T = 2\pi n/\omega$es solo una discontinuidad removible, no una divergencia real.