Fermiones casi idénticos luchando por el mismo estado

Respuesta corta: las partículas "casi idénticas" son verdaderamente idénticas o no idénticas a los efectos de las estadísticas cuánticas. A la estadística cuántica no le importa si su partícula tiene las mismas propiedades que un electrón excepto por una masa$1.000000000000001 m_e$: que cuenta como una partícula distinguible de cualquier electrón. Puede quejarse de que esto nos brinda una forma de distinguir experimentalmente masas, etc. con precisión arbitraria y tendría razón: lo permite. La excepción es si la naturaleza conspira para hacernos la vida lo más difícil posible enredando siempre las partículas y sus dopplegangers de una manera que casi prohíbe las transiciones al estado fundamental. No hay razón para creer esto y no se ha visto nada igual. La situación genérica, incluso para partículas muy similares, implica transiciones rápidas sin bloqueo de Pauli.

Respuesta larga:

Las estadísticas cuánticas son un tipo particular de reglas de entrelazamiento y "superselección" que dicen esto: los únicos estados que son parte del espacio de Hilbert de un sistema son aquellos que son completamente (anti)simétricos bajo el intercambio de dos partículas idénticas. Para que esto tenga alguna fuerza, las partículas deben ser verdaderamente idénticas, no simplemente "casi" idénticas, sea lo que sea que eso signifique.

En realidad, esto es una consecuencia automática del formalismo de la teoría cuántica de campos, que es más fundamental y donde la (anti)simetría de intercambio requerida es completamente manifiesta y obvia. Pero para abordar la posibilidad de que la naturaleza pueda ser de otra manera, trabajaré en un formalismo donde la respuesta correcta no es manifiesta y obvia: la mecánica cuántica de muchos cuerpos habitual. Aquí tenemos una función de onda de muchos cuerpos$\psi(r_1, r_2, r_3,\cdots,r_N)$que describe un número fijo de partículas de tipos dados, y que pueden o no obedecer a propiedades de simetría.

Ahora imaginemos que el sistema son dos electrones con función de onda.$\psi(r_1, r_2)$. Las estadísticas de Fermi nos dicen que$\psi(r_1, r_2)=-\psi(r_2,r_1)$. Una función arbitraria de dos coordenadas no funcionará, aunque para cualquier$f(r_1,r_2)$podemos hacer un estado válido por$\psi \sim f(r_1,r_2)-f(r_2,r_1)$. La parte simétrica$f(r_1,r_2)+f(r_2,r_1)$no es un estado válido. Entonces, lo que estamos haciendo es descomponer el espacio de Hilbert de las dos funciones de onda de partículas en dos partes:$\mathcal{H}_2=\mathcal{H}_- \oplus \mathcal{H}_+$y cortando la parte simétrica$\mathcal{H}_+$, identificando el espacio físico de Hilbert como$\mathcal{H}_{phys}=\mathcal{H}_-$. Para$\geq 3$sistemas de partículas también cortamos todos los estados con simetrías mixtas, manteniendo solo el subespacio totalmente antisimétrico. Es importante señalar que como$\psi(r_1,r_2)=\chi(r_1)\chi(r_2)$no existen porque no son antisimétricos y no pueden hacerse antisimétricos. No es que tales estados sean simplemente inaccesibles, simplemente no existen.

Aquí está el punto clave: esto solo puede funcionar para partículas verdaderamente idénticas . Lo que quiero decir es que la simetría de intercambio debe ser realmente una simetría : ¡todos los operadores de intercambio de partículas deben conmutar con el hamiltoniano! De lo contrario, la evolución del tiempo a partir de un estado antisimétrico generaría estados de simetría mixtos que no son físicos. Esto muestra que los fermiones/bosones deben ser partículas idénticas en todos los sentidos. La demostración en sentido contrario, es decir, que partículas idénticas deben ser bosones o fermiones, es consecuencia del hecho de que dos estados que difieren por una operación de intercambio son físicamente indistinguibles, por lo que deben corresponder al mismo rayo en el espacio físico de Hilbert. Por lo tanto, los intercambios toman un rayo hacia sí mismo, es decir, cambian el estado en un factor de fase como máximo.$\exp(i\phi)$, y las únicas representaciones del grupo de permutación como factores de fase son la representación trivial (simétrica) (es decir, bosones) y la$\mathbb{Z}_2$representación (antisimétrica) (es decir, fermiones).

Ahora echemos un vistazo a su situación. Imagina que tenemos un sistema de un electrón y un doppelganger, con$\psi(r_1; r_2)$donde el primer argumento se refiere al electrón y el segundo al doppelganger. Ahora bien, no hay razón para que el estado obedezca ninguna propiedad de simetría. Ciertamente puedes hacer un estado antisimétrico, pero también puedes hacer un estado simétrico y la evolución del tiempo no conserva ninguna simetría particular. Incluso si prácticamente no puede distinguirlos en su detector$\psi(r_1; r_2)$y$\psi(r_2; r_1)$son estados físicamente diferentes, por lo tanto, son rayos ortogonales en el espacio de Hilbert. Así que el argumento anterior se desmorona. El espacio de Hilbert aún se descompone en representaciones más pequeñas del grupo de permutación pero el hamiltoniano no conserva los subespacios: genera evolución entre ellos. Si la simetría de intercambio es casi buena, la evolución entre subespacios será más lenta que la evolución dentro de los subespacios.

Es importante destacar que los estados fundamentales$\chi_{e,d}$para el electrón y el doppelganger te permiten hacer$\chi_e(r_1)\chi_d(r_2)$,$\chi_e(r_2)\chi_d(r_1)$,$\chi_e(r_1)\chi_d(r_2)+\chi_e(r_2)\chi_d(r_1)$y tal vez incluso$\chi_e(r_1)\chi_d(r_2)-\chi_e(r_2)\chi_d(r_1)$! (La combinación antisimétrica podría no existir si las funciones de onda del estado fundamental$\chi_e = \chi_d$, que es el caso del pozo infinito pero no un potencial general. Puede pensar que esta función de onda es numéricamente pequeña si las funciones$\chi_e \approx \chi_d$, pero siempre normalizas los muchos estados del cuerpo, así que esto no es un problema. El punto es que no siempre es idénticamente cero). Por lo tanto, no hay ninguna obstrucción para que el sistema baje al estado fundamental. Además, dado que las propiedades del electrón y el doppelganger son muy similares, las tasas de transición de los estados excitados al estado fundamental serán similares para las dos partículas. Así que la transición se lleva a cabo rápidamente. No hay bloqueo de Pauli. Puede tomar mucho tiempo para que el carácter de simetría del estado cambie significativamente (porque la diferencia en las masas es pequeña), pero esto no importa ya que el sistema puede caer en cualquier combinación de$\chi_e(r_1)\chi_d(r_2)$y$\chi_e(r_2)\chi_d(r_1)$.

La única excepción es si la naturaleza conspira para producir siempre estados en un subespacio de simetría que no incluye el estado fundamental, en cuyo caso debe esperar a que el estado evolucione a un subespacio de simetría diferente, lo que puede llevar un tiempo. Pero esta es una conspiración que no tiene una buena razón para suceder. En particular, depende de la forma de las funciones de onda del estado fundamental para el electrón y el doppleganger, que pueden diseñarse para que sean diferentes, por lo que siempre se puede diseñar un nuevo experimento si el que intentó no funciona lo suficientemente rápido.