¿La función de onda de las partículas dentro de un gas está dispersa o localizada?

Preliminares: ¿Cómo definimos 'localizado'?

Para una sola partícula, o para múltiples partículas no entrelazadas, es fácil saber a partir de las expresiones de las funciones de onda si están localizadas o deslocalizadas. Por ejemplo, podría decir que si la función de onda cae exponencialmente o más rápido para grandes$x$, eso es con una forma como$\psi(x)\sim e^{-x/\xi}$con alguna escala de longitud característica$\xi$, entonces se localiza, mientras que algo así como una onda plana (que se puede considerar que está en el$\xi \rightarrow \infty$límite) está deslocalizado.

Para las partículas que interactúan, el estado cuántico de muchos cuerpos evolucionará genéricamente a algo que está enredado entre la partícula. Entonces ya no existe una función de onda para una partícula individual, y la cuestión de la localización ya no es tan sencilla. Por ejemplo, es el estado de dos partículas$\psi(x_1,x_2)\sim e^{-(x_1-x_2)^2}$¿localizado o deslocalizado?

Una forma estándar de generalizar esta idea de sistemas localizados/extendidos de muchos cuerpos es usar el concepto de entropía de entrelazamiento (1) y preguntar si una región en particular está entrelazada con otra región distante del sistema. Para un sistema unidimensional, la entropía de entrelazamiento es:

$S(\rho_A)=-\text{Tr}[\rho_A \log \rho_A]$, con$\rho_A$la matriz de densidad reducida para ese sistema:

Aquí estamos viendo una región de$-x_0$a$x_0$. Si$S$es exponencialmente pequeño, entonces el sistema está localizado, y si no lo está, está extendido. Observe que hemos pasado de hablar de partículas a hablar de regiones. Esto es más natural cuando se piensa en la localización, pero para una densidad uniforme de partículas en un momento particular en el tiempo, la localización de una implica la otra.

El sentido de "localizado" que tenemos ahora es que para un sistema localizado, una medición en un punto no perturba el estado cuántico en un punto lejano. Usando este estándar, si realiza los cálculos anteriores en un estado como el estado de dos partículas anterior, o un estado de onda plana de una sola partícula, encontrará que tienen una entropía de entrelazamiento distinta de cero y se extienden. Sin embargo, un estado como$\psi(x_1,x_2)\sim e^{-(x_1/\xi)^2}e^{-((x_2-2x_0)/\xi)^2}$sería localizado, siempre y cuando$x_0 \gg \xi$.

Termalización de estado propio

De acuerdo, con estas ideas en su lugar, ahora puedo expresar la respuesta de manera simple: para un sistema cuántico de partículas en una caja que interactúa con una repulsión de caparazón duro, en un estado altamente excitado y límite diluido, y en equilibrio, la entropía de entrelazamiento es proporcional al volumen del sistema.

Lo que esto significa, en términos generales, es que cada punto de la caja está igualmente enredado con todos los demás puntos. En este sentido, el sistema se amplía. Medir el estado cuántico en un punto también afectará el estado cuántico en cualquier otro punto.

La prueba de esto se debe básicamente a Srednecki, en un artículo fundamental de termalización cuántica que le animo a leer (2) . Para el sistema anterior, Srednecki muestra que los estados propios del sistema dan un comportamiento de partículas que concuerda con la mecánica estadística de Maxwell-Boltzmann, y además que los sistemas que comienzan lejos del equilibrio (como el caso que mencionas donde todo comienza localizado) también evolucionarán a un estado de equilibrio que obedece a estas predicciones. Además, el trabajo posterior ha enfatizado que cualquier sistema que tenga esta propiedad de autoequilibrio, conocida como termalización de estado propio , también necesariamente mostrará una escala de volumen de entropía de entrelazamiento (ver, por ejemplo, (3) ).

decoherencia

Todo lo que he dicho hasta ahora ha sido sobre el estado cuántico puro, pero la gente suele hablar de este tipo de sistema en términos de decoherencia. ¿Cuál es la conexión?

Bueno, la decoherencia sucede cuando el sistema de interés se entrelaza con muchos otros sistemas inaccesibles, y eso es claramente lo que sucede aquí (4, 5) . Dado que cualquier parte del sistema está enredada entre sí, para un sistema de tamaño incluso moderado sería prácticamente imposible observar la coherencia entre las diferentes partes. Esto significa que el sistema será funcionalmente indistinguible de un sistema sin coherencia, o simplemente de un conjunto estadístico clásico. Este es el milagro del enredo: si tienes suficiente, las cosas se vuelven más simples en lugar de más complicadas. Es por eso que las mediciones, que invariablemente producen algún complicado estado entrelazado entre el sistema y el aparato, pueden, no obstante, resultar en la obtención de conocimiento.

Conclusión

Hay dos formas válidas de describir el estado de la caja de partículas en colisión después de mucho tiempo:

1. Es un estado entrelazado complejo de muchos cuerpos en el que cada parte está igualmente entrelazada con todas las demás, pero de tal manera que reproduce los resultados estadísticos estándar (como la distribución de Maxwell-Boltzmann) para una medición de una sola partícula.
2. Debido a la gran cantidad de entrelazamiento, para todos los propósitos prácticos, las partículas también pueden tratarse como partículas clásicas decoherentes, en cuyo caso, por supuesto, tienen una posición y un momento bien definidos.

Ninguna de estas afirmaciones es incorrecta, y cada una podría ser útil en el contexto adecuado.

Realmente depende de las condiciones de contorno. Para condiciones de contorno como una caja 3D con paredes reflectantes, el estado cuántico inicial$\Psi$permanecerá un estado cuántico con la función de onda única dependiendo de las variables de cada partícula:

En ambos casos las posiciones de las partículas se predicen estadísticamente, pero en el último caso puede que no haya fenómeno de interferencia (o será menos pronunciado).

Considere su caso para un experimento de doble rendija sin y con mediciones de posición de partículas, mediciones antes de la pantalla.

Para resolver tu problema exactamente, tendrías que resolver la ecuación de Schrödinger

dónde$\Psi (\vec r_1 \dots \vec r_N,t)$es la función de onda de la$N$partículas y

dónde$u_{ij}$es algún par potencial y$V_{\text{ext}}$es el potencial de la caja. Por supuesto, también necesitas una condición inicial.

Lo primero que debes notar es que no es apropiado hablar de "la función de onda de cada partícula", porque hay que considerar la función de onda total de la$N$partículas ($\Psi$). Si las partículas son indistinguibles, esta función debe poseer algunas simetrías, dependiendo de qué tipo de partículas estés considerando (bosones o fermiones).

Es realmente difícil resolver tal problema analítica o numéricamente. Un buen punto de partida para tener una idea cualitativa sería resolver las ecuaciones correspondientes para dos partículas y ver qué sucede.

Esto ha sido hecho numéricamente por los autores de este artículo utilizando potenciales cuadrados y gaussianos, con partículas distinguibles e indistinguibles. en este último caso se consideraron funciones de onda simetrizadas (bosónicas) y antisimetrizadas (fermiónicas):

La función de onda en$t=0$se supone que es el producto de dos paquetes de ondas gaussianas:

Dónde

y$k_2 = - k_1$.

En el siguiente gráfico se puede ver por ejemplo el resultado de la colisión de dos partículas distinguibles con igual masa$m$interactuando a través de un potencial cuadrado (las curvas son las densidades de probabilidad obtenidas por las funciones de onda):

Los números en las esquinas superiores izquierdas indican el tiempo (en unidades de$100 \times$paso de tiempo) y los bordes de los marcos corresponden a las paredes de la caja.

Puede ver que, de hecho, hay una "difusión" de los paquetes de ondas (para ser más precisos, su módulo al cuadrado, es decir, las densidades de probabilidad) después de la colisión (cfr. 1 y 120).

Citando del artículo:

En la Fig. 5 mostramos nueve fotogramas de la película de una colisión m–m repulsiva en la que la energía cinética media es igual a un cuarto de la altura de la barrera. Se ve que los paquetes iniciales disminuyen la velocidad a medida que se acercan entre sí, con su repulsión mutua estrechándose y elevando los paquetes hasta el momento (50) cuando comienzan a recuperarse. Se observa que los paquetes de ondas conservan su forma en momentos posteriores, con un ensanchamiento progresivo hasta que chocan con las paredes y se rompen.

En el contexto de la física del estado sólido, una cuestión estrechamente relacionada ha sido un área de investigación activa en los últimos años. La mayoría de los sistemas que interactúan se termalizan (y, por lo tanto, se deslocalizan) en escalas de tiempo prolongadas. Sin embargo, ciertos sistemas cuyo desorden es mucho más fuerte que sus interacciones experimentan la "localización de muchos cuerpos", en la que las partículas individuales permanecen "atascadas" indefinidamente. Esto tiene muchas consecuencias macroscópicas, como la falta de conducción eléctrica (porque los electrones no pueden moverse libremente) y la entropía de entrelazamiento que solo se escala como una ley de área en lugar de una ley de volumen para cada estado propio (no solo el estado fundamental). Hay demasiados artículos sobre este tema para enumerarlos, pero el artículo original que lo inició todo es Basko, Aleiner y Altschuler (2006).

Un gas denso con interacciones relativamente fuertes (según los estándares de los gases) podría considerarse más o menos como un sólido muy fuertemente desordenado que interactúa débilmente, por lo que sospecho que, al igual que en el caso del estado sólido, su experimento mental podría conducir a un deslocalizado o un estado localizado, dependiendo de los detalles de la densidad del gas y la fuerza de sus interacciones.

Los efectos cuánticos aparecen si la concentración de partículas satisface,

La naturaleza cuántica de la partícula se manifiesta en que los bosones obedecen a la estadística de Bose-Einstein y los fermiones obedecen a la estadística de Fermi-Dirac. Tanto las estadísticas de Fermi-Dirac como las de Bose-Einstein se aproximan bien a las estadísticas clásicas de Maxwell-Boltzmann a alta temperatura y baja concentración, donde los efectos cuánticos son insignificantes.

Supongo que te refieres a que el gas está contenido en una caja mágica. De lo contrario, las paredes se vuelven parte del sistema, intercambiando momento/energía con las 'partículas'. No tengo respuesta para ti; No sé. Lo que sí sé es que ninguna de las colisiones partícula-partícula puede caracterizarse de otra manera que no sea usando una distribución de probabilidad. El sentido común exige que, suponiendo que conoce la posición y el momento aproximados de una partícula en el tiempo t = 0, y suponiendo que la distribución de otras partículas en la caja es aleatoria y todas están en equilibrio térmico con las paredes, la posición o el momento será más y más distribuida más uniformemente sobre el volumen (espacio de fase) en tiempos t>0. Entonces, dime, ¿estás usando la partícula como el origen de las coordenadas de dicha ecuación de onda, o el marco de referencia está fijado por la caja? Por lo que puedo ver, su pregunta no es útil y carece de valor predictivo. Me parece que su pregunta es sobre el estado de la ecuación de onda entre observaciones. Lo cual (tal vez porque soy fanático de la Interpretación de Copenhague) parece profundamente equivocado. Probablemente pueda localizar la partícula, una vez (t = 0), pero ¿entonces qué? ¿Cómo lo observas por segunda vez? Claramente, esa segunda observación no será en un lugar localizado equivalente. (salvo alguna trampa). una vez (t=0) pero luego ¿qué? ¿Cómo lo observas por segunda vez? Claramente, esa segunda observación no será en un lugar localizado equivalente. (salvo alguna trampa). una vez (t=0) pero luego ¿qué? ¿Cómo lo observas por segunda vez? Claramente, esa segunda observación no será en un lugar localizado equivalente. (salvo alguna trampa).

El comportamiento de las moléculas en su experimento gedanken se puede abordar mediante el uso de la decoherencia. Pero no creo que pueda obtener una respuesta definitiva hasta que alguien haga una simulación a gran escala (o hasta que la respuesta de algún experto pueda hacer una prueba formal de lo que realmente sucede, pero no estoy capacitado para hacer eso). Los efectos de decoherencia se pueden argumentar heurísticamente, pero tomando ese enfoque, la respuesta que encontré es ambigua.

Por un lado, una sola molécula no está aislada, interactúa con un entorno macroscópico (gas, radiación electromagnética, paredes). En la mayoría de los casos, este entorno actuará para reducir el estado entrelazado de una sola molécula y hacer que aparentemente colapse en una base preferida. La base preferida suele ser la base de la posición, pero no siempre es así y depende de los detalles de la configuración.

Si la base preferida es la base de posición, entonces la función de onda de las moléculas individuales no se extenderá por mucho tiempo, su interacción con el resto del entorno en el que se encuentra hará que las probabilidades de "colapsar" a un paquete más pequeño (como se mencionó por P. Shor en el comentario, no puede ser un estado propio puro del operador de posición). Pero si la base preferida es diferente, por ejemplo, la base del impulso, entonces el resultado final será un paquete de ondas en gran medida deslocalizado. Esta segunda opción parece ser más consistente con el hecho de que una vez que alcanzan el equilibrio termodinámico, las moléculas de gas satisfacen el Maxwell Boltzmann. Estadísticas.