¿La energía fundamental de los fermiones que interactúan es siempre mayor que la de los bosones?

Mi intuición me dice que la energía del estado fundamental de los bosones siempre debe ser más baja que la del estado fundamental de los fermiones, sin importar qué tipo de interacciones u otras propiedades externas hayamos elegido.

Creo que tu intuición suele ser correcta; pero es posible definir sistemas donde los fermiones en estado fundamental tendrían menos energía que los bosones en estado fundamental. Primero, una nota sobre por qué los fermiones tienden a tener energías más altas, y luego una nota sobre cómo se puede arreglar que los bosones tengan más energía que los fermiones.

(1) Suponga que no hay interacciones de partículas.

Bajo el supuesto de que el hamiltoniano para el bosón y el fermión son idénticos, las energías para partículas individuales (es decir,$N=1$) también serán idénticos. Esto se deriva del hecho de que la ecuación de onda de Schroedinger se aplica igualmente a un bosón o fermión. En particular, bajo esta suposición, las energías del estado fundamental son idénticas, llámese energía$E_1$.

La suposición más simple para las interacciones de partículas es que no hay ninguna. En este caso, la energía del estado fundamental para el bosón es fácil, es solo$N\; E_1$ya que todos los bosones están en el mismo estado.

El estado fundamental del fermión será de mayor energía (debido al principio de exclusión de Pauli), excepto en el caso de que el estado fundamental sea$N$-pliegue degenerado en cuyo caso los bosones y fermiones tendran la misma energia.

Para algunas personas, lo anterior puede ser obvio en sí mismo. Para otros, es posible que deseen un poco menos de gestos con las manos y un poco más de matemáticas. Así que deja que el$N$los estados propios de energía más bajos sean$\psi_n(x)$para$n=1,2,3,...,N$sin degeneración para que$H\psi_n = E_n\psi_n$. En el caso del bosón, el estado fundamental tiene todas las partículas en este estado, por lo que la función de onda es una simetrización de$\psi(x_1,x_2,...,x_n) = \psi_1(x_1)\psi_1(x_2)...\psi_1(x_n)$. Pero no importa cómo se permuten las posiciones, la energía de este estado es$E_1+E_1+...+E_1 = N\;E_1$. De manera similar, la energía para cualquier permutación del estado fundamental de Fermi$\psi_1(x_1)\psi_2(x_2)...\psi_n(x_n)$es$E_1+E_2+...E_N > N\;E_1$.

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(1) Suponga interacciones de partículas arbitrarias.

Con interacciones de partículas arbitrarias, es fácil crear una situación en la que los bosones tengan la misma energía de estado fundamental que los fermiones. Uno simplemente agrega energía a las funciones de onda de Bose sin agregar energía a los estados de Fermi. Hagamos esto explícitamente para una función de onda de 2 partículas. Para hacer esto, necesitamos definir las funciones de onda para$\psi_1 \times \psi_2$, es decir, necesitamos definir el producto tensorial. Usemos las funciones de onda más simples posibles, espinores, y definamos la función de onda combinada$\psi_1\otimes \psi_2$por:

$$|1\rangle=\left(\begin{array}{c}a_1\\b_1\end{array}\right)$$
$$|2\rangle=\left(\begin{array}{c}a_2\\b_2\end{array}\right)$$
$$|1\rangle\otimes |2\rangle=\left(\begin{array}{c}a_1a_2\\b_1a_2\\a_1b_2\\b_1b_2\end{array}\right).$$
Ahora (ignorando un factor sin importancia de $\sqrt{1/2}$de aquí en adelante) una simetrización de Fermi se ve así:
$$|1\rangle\otimes|2\rangle-|2\rangle\otimes|1\rangle=\left(\begin{array}{c}a_1a_2-a_2a_1\\b_1a_2-b_2a_1\\a_1b_2-a_2b_1\\b_1b_2-b_2b_1\end{array}\right)= \left(\begin{array}{c}0\\b_1a_2-b_2a_1\\a_1b_2-a_2b_1\\0\end{array}\right),$$
mientras que una simetrización bose se ve así: $$|1\rangle\otimes|2\rangle+|2\rangle\otimes|1\rangle=\left(\begin{array}{c}a_1a_2+a_2a_1\\b_1a_2+b_2a_1\\a_1b_2+a_2b_1\\b_1b_2+b_2b_1\end{array}\right)= \left(\begin{array}{c}2a_1a_2\\b_1a_2+b_2a_1\\a_1b_2+a_2b_1\\2b_1b_2\end{array}\right).$$
Entonces, para agregar energía solo al caso de simetría de Bose, todo lo que tenemos que hacer es incluir un término potencial que se vea así:
$$V = \left(\begin{array}{cccc}E&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&E\end{array}\right).$$

Tenga en cuenta que la matriz anterior tiene valores propios de 0 y$E$, pero el$E$Los valores propios solo son accesibles para un bosón, los fermiones automáticamente tienen una energía 0 para este potencial. Para que un estado bose evite la adición de energía, debe tener$a_1a_2=b_1b_2=0$. Hay dos maneras de hacer esto; ya sea tener$a_1=0$o$a_2=0$. Ya que no puedes tener ambos$a_1$y$a_2$cero, o tener ambos$b_1$y$b_2$cero, un poco de álgebra mostrará que solo hay un estado bose que evita el$E$:

$$\left(\begin{array}{c}0\\1\\1\\0\end{array}\right)$$
Lo anterior es la simetrización bose de (1,0) x (0,1). Por otro lado, la simetrización de Fermi de estos dos estados es: $$\left(\begin{array}{c}0\\+1\\-1\\0\end{array}\right).$$
Entonces, para agregar una energía a la simetrización bose pero no a la simetrización fermi, use un potencial de:
$$V = \left(\begin{array}{cccc}E&0&0&0\\0&E/2&E/2&0\\0&E/2&E/2&0\\0&0&0&E\end{array}\right).$$ Lo anterior tiene tres vectores propios con valor propio $E$y solo un vector propio único con valor propio 0; este valor propio solo es accesible para los fermiones.

La pregunta tiene sentido en un entorno no relativista, donde se puede imponer la simetría o la antisimetría a la función de onda.

El estado fundamental simétrico siempre tiene menor energía, ya que también es un estado fundamental del sistema no simetrizado. (Prueba: la simetrización de un estado fundamental arbitrario es nuevamente un estado fundamental).