Factor de mejora de Bose

Comenzaré desde bastante lejos, pero llegaré al punto eventualmente. Por supuesto, es posible derivar rigurosamente ecuaciones cinéticas o considerar alguna teoría estadística de campo (como se sugiere en algunas de las respuestas a esta pregunta ), pero quiero adoptar un enfoque más simple. Discutiré (efectivamente) las partículas que no interactúan. Mi respuesta está parcialmente inspirada por las cosas que vi allí .

En el caso clásico, la probabilidad de encontrar$n$partículas en un estado no depende del número de partículas$n$en ese estado. Por lo tanto, la probabilidad es simplemente un producto de (¡independiente!)$n$probabilidades de transición de una sola partícula$P_1$, tal que

$$P_n^\text{Classic}=(P_1)^n.$$

Obviamente, este no es el caso de los fermiones, ya que si un solo fermión ya está ocupando un estado, la transición a ese estado está prohibida. De manera elegante, este hecho también se puede ver a partir de un requisito de antisimetrización para dos fermiones. Si hay dos fermiones, y pueden acceder a dos estados$\alpha$y$\beta$, la función de onda es

$$\psi_A=\frac{1}{\sqrt{2}}\Big(\psi_\alpha(1)\psi_\beta(2)-\psi_\alpha(2)\psi_\beta(1)\Big).$$ Sin embargo, si queremos ponerlos a ambos en un solo estado, tenemos que establecer $\alpha = \beta$en la ecuación anterior, y la función de onda se vuelve cero. En conclusión, dos fermiones no pueden ocupar el mismo estado. Resulta que este hecho se puede poner en una ecuación cinética diciendo que $$P_n^\text{Fermi} \sim (1-n),$$ que parece trivial para un entero $n$, pero resulta ser también correcto para las situaciones donde $n$es la ocupación media (no entero entre 0 y 1).

Finalmente, considere dos bosones. También son indistinguibles (al igual que los fermiones), pero su intercambio da un más en lugar de un menos, por lo que la función de onda es simétrica:

$$\psi_S=\frac{1}{\sqrt{2}}\Big(\psi_\alpha(1)\psi_\beta(2)+\psi_\alpha(2)\psi_\beta(1)\Big).$$ Continuando con el mismo juego, los ponemos a ambos en el mismo estado configurando $\alpha = \beta$. En lugar de cero, tenemos $$\psi_S={\sqrt{2}}\psi_\alpha(1)\psi_\alpha(2).$$ Ahora queremos saber la distribución de probabilidad de encontrar ambos bosones en este único estado. Por lo tanto, calculamos el valor absoluto al cuadrado de esta función de onda de muchos cuerpos: $$|\psi_S|^2=2|\psi_\alpha(1)|^2|\psi_\alpha(2)|^2.$$ Si hubiéramos comenzado con una situación (cuasiclásica) de partículas distinguibles, la función de onda total habría sido $\psi_\alpha(1)\psi_\beta(2)$o equivalente $\psi_\alpha(2)\psi_\beta(1)$. En ese caso, después de identificar los dos estados, la distribución de probabilidad habría sido meramente $|\psi_\alpha(1)|^2|\psi_\alpha(2)|^2$, por lo tanto, hay una mejora doble. Jugando con la simetrización de más partículas, resulta que el factor (que es $2$aquí) se generaliza a $n!$. Esto significa que $$P_{n+1}^\text{Bose} = (n+1)! P^\text{Classic}_{n+1} = (1+n) n! P_1 P^\text{Classic}_{n} = (1+n) P_1 P_n^\text{Bose}.$$ Este $1+n$es el factor de mejora de Bose que hemos estado buscando.

Una forma simple de ver esto es considerando el hecho de que la probabilidad de pasar de un estado inicial particular a un estado final particular es la misma que para el proceso inverso donde se considera la transición del estado final al inicial. Esto se debe a que el cuadrado del módulo del elemento de la matriz es el mismo para ambos casos.

Esto significa que en lugar de considerar la transición a un estado donde ya hay n bosones presentes y se agregará uno, podemos considerar la tasa de transición desde el estado final que contiene n+1 bosones al estado inicial donde uno de estos bosones los bosones irán a otro lugar. Obviamente, esto tendrá que ser proporcional al número de bosones en el estado final, por lo que la tasa será proporcional a n+1.

Tenga en cuenta que en una configuración clásica también puede llegar a este resultado, pero luego "clásico" se refiere a tratar el campo de los bosones de una manera clásica (tome, por ejemplo, el campo electromagnético, en ese caso puede derivar la fórmula para la emisión estimulada, en un tratamiento completo de mecánica cuántica, se obtiene el resultado clásico al ignorar ciertos conmutadores, lo que luego produce un factor de n en lugar de n+1).

En cambio, si se toma el límite clásico donde el volumen del sistema se envía efectivamente al infinito para que la densidad de estados llegue a cero, entonces los números de ocupación también llegan a cero y luego n+1 se convierte en 1.