Evolución temporal de estados de 2 partículas en QFT en la imagen de Heisenberg

Su pregunta parece no tener nada que ver en particular con la teoría cuántica de campos, ya que lo mismo puede suceder en la mecánica cuántica ordinaria para cualquier estado que haya etiquetado como el valor propio de un observable dependiente del tiempo, y en particular para los hamiltonianos dependientes del tiempo.

Suponga que tiene un observable dependiente del tiempo$A(t)$y un estado propio$\lvert a_1,t_1\rangle$, que tiene el valor propio$a_1$en el momento$t_1$. Ahora se está preguntando cómo puede ser que tengamos una probabilidad de encontrar que este estado es el mismo que$\lvert a_2,t_2\rangle$para$a_1\neq a_2$, pero esto es perfectamente posible. Solo deja, por ejemplo,$a_1,a_2$ser$+1/2,-1/2$y deja$A(t_1)$ser$\sigma_z$y$A(t_2)$ser$-\sigma_z$, es decir$A$mide el giro en la dirección z en ambos momentos, pero el signo se invierte entre los dos estados, y tenemos$\lvert a_1,t_1\rangle = \lvert a_2,t_2\rangle$.

Ahora, para el caso de un QFT interactivo sobre el que pregunta, primero debe pensar en la forma sin imágenes de escribir lo que está preguntando: con el operador de evolución temporal "$U(-\infty,\infty)$"y los estados$\lvert p_1,p_2\rangle$y$\lvert k_1,k_2,\rangle$, quieres calcular

$$\langle p_1,p_2\vert U(-\infty,\infty)\vert k_1,k_2\rangle$$ y dado que la evolución temporal se calcula a partir de un hamiltoniano dependiente del tiempo, no tiene garantía de que ninguno de los estados propios momentáneos $\lvert p_1,p_2\rangle$permanece en un estado propio a lo largo de la evolución. De hecho, esto no puede suceder si hay una amplitud distinta de cero para $k_1\neq p_1$o $k_2\neq p_2$, pero no hay nada de malo en esto en ninguna de las imágenes.

Por último, permítanme comentar que la existencia de las imágenes en QFT para empezar es un tema polémico, debido a que el teorema de Haag hace imposible la existencia rigurosa de una equivalencia unitaria entre los campos que actúan sobre los espacios de Hilbert asintóticamente libres y los espacios de Hilbert que interactúan.

En realidad no funciona de esta manera. Cuando prepara un cierto estado "dentro" para un evento de dispersión que contiene, digamos, n partículas, entonces, como resultado de la dispersión, puede tener una serie de diferentes estados finales "fuera" que contienen m partículas donde m puede ser diferente de n. El estado "dentro" debe poder expresarse como una combinación lineal de todos los estados finales, ya que el estado de Heisenberg no debe cambiar con el tiempo. Así que básicamente,

$|k_1,….k_n ; in> = \Sigma |p_1,…. p_m ; out> S_{p_1……p_m;k_1….k_n}$

el coeficiente$S_{fi}$son elementos de la matriz S que básicamente describen elementos de la matriz desde un estado inicial hasta un estado final. Por ejemplo, dos electrones pueden dispersarse en dos muones o dos electrones o lo que sea, pero los dos electrones en el estado inicial, por supuesto, serán diferentes del estado de dos electrones en el estado final, ya que este último caería en esa combinación lineal con un coeficiente de matriz.

Además, en realidad trabaja en la representación de interacción (excluido Yang-Feldman) en qft, donde la dependencia del tiempo se divide en dos partes: la dependencia del tiempo de los sistemas que no interactúan la llevan los operadores, mientras que la dependencia del tiempo restante la toma un vector de estado. Por lo tanto, puede evitar problemas simples al optar por la representación de interacción en lugar de la representación de Heisenberg.