¿Por qué la mecánica cuántica usa operadores de densidad en lugar de distribuciones de probabilidad sobre el espacio de estados?

Cada vez que trato de entender los estados mixtos, me remito a la noción de operadores de densidad. Creo que los operadores de densidad se introdujeron para representar estados mixtos como operadores.

Por lo que leí, veo que un estado mixto es solo un grupo de estados puros donde cada estado tiene asignada alguna probabilidad que suma a uno. A veces, un estado mixto se denomina conjunto en el sentido de conjunto estadístico .

Limitémonos al caso de dimensión finita. El que tenemos cuando tratamos con computadoras cuánticas. Entonces tenemos el espacio de Hilbert$H(\mathbb{C}^n$) y los estados puros están modelados por rayos en$\mathbb{C}^d$. Así, el espacio de estado es modelado por el espacio proyectivo$\mathbb{C}P^{n-1}$.

Fijemos una base ortonormal$|e_1\rangle, \dots |e_n\rangle$en$\mathbb{C}^n$y un estado puro$|\phi\rangle$. Si hacemos una medición en esta base, entonces, de acuerdo con la regla de Born, la probabilidad de que el resultado sea$|e_j\rangle$es igual$|\langle e_j|\phi\rangle|^2$.

Si tenemos un estado mixto compuesto por$|\phi_1\rangle,\dots|\phi_k\rangle$con probabilidad de$|\phi_i\rangle$ser$p_i$entonces consideramos el operador de densidad$\rho=\sum_ip_i|\phi_i\rangle\langle\phi_i|$. Y luego, si queremos calcular la probabilidad de que el resultado sea$|e_j\rangle$, nosotros ( esto no estoy seguro ) calculamos$\langle e_j|\rho|e_j\rangle$que nos da$\sum_ip_i |\langle e_j|\phi_i\rangle|^2$.

Y lo anterior es lo que me molesta. Toda esta idea de los operadores de densidad me parece una exageración.

La formula$\sum_ip_i |\langle e_j|\phi\rangle|^2$se parece a la distribución marginal (que es un caso especial de medida pushforwad). Por lo tanto, en lugar de operadores de densidad, deberíamos modelar estados mixtos como distribuciones de probabilidad sobre$\mathbb{C}P^{n-1}$(si uno quiere ser más formal uno consideraría$\sigma$-archivo generado por borel establece en$\mathbb{C}P^{n-1}$). Dada tal distribución de probabilidad$P$, la probabilidad de que$|\phi\rangle$es en$S\subset \mathbb{C}P^{n-1}$es dado por$\int_S dP(|\phi\rangle)$. En el caso de la medida de probabilidad discreta, obtenemos un conjunto estadístico preciso de estados puros.

En tal marco, podríamos considerar la probabilidad de que el resultado sea$|e_j\rangle$en función de los estados puros. Es decir$pm_j:\mathbb{C}P^{n-1}\to[0,1]$dado por fórmula$pm_j(|\phi\rangle)=|\langle e_j|\phi\rangle|^2$. Y desde$pm_j$es medible, puede tratarse como una variable aleatoria y podemos hacer con ella todas las cosas probabilísticas sofisticadas. Podemos integrarlo$\int_{\mathbb{C}P^{n-1}}|\langle e_j|\phi\rangle|^2dP(|\phi\rangle)$y obtener algo que es la generalización directa de lo que obtuvimos anteriormente (quiero decir$\sum_ip_i |\langle e_j|\phi_i\rangle|^2$).

Podemos impulsar este marco aún más. Un observable arbitrario$A:\mathbb{C}^n\to\mathbb{C}^n$como operador lineal da lugar (o más bien factoriza) al mapeo$\bar{A}:\mathbb{C}P^{n-1}\to\mathbb{C}P^{n-1}.$Y desde$\bar{A}$es medible empuja hacia adelante la medida. Por lo tanto, podemos aplicar el razonamiento anterior también.

Creo que lo que describí se generaliza al espacio de Hilbert arbitrario (y a las operaciones cuánticas arbitrarias).

¿El marco probabilístico anterior es consistente con el definido en términos de operadores de densidad? Si es así, ¿no debería la mecánica cuántica entera considerar interesantes solo los estados puros?