Estados cuánticos: funciones de onda u operadores

En un curso/libro de texto típico de mecánica cuántica para físicos, e incluso en la Teoría cuántica para matemáticos de Hall , se dice que los estados de un sistema de mecánica cuántica son vectores en algún espacio de Hilbert. H . He encontrado algunas otras fuentes aparentemente más precisas, por ejemplo, Quantum Mechanics for Mathematicians de Takhtajan , que dicen que los estados son, de hecho, operadores delimitados por clases de trazas en H . Ejemplos particulares de este último son proyecciones unidimensionales sobre vectores en H , por lo que esta segunda vista abarca la primera.

No estoy seguro de si hay algún problema con el primer modelo y esta es la razón para presentar el segundo, o si el segundo es simplemente una extensión matemáticamente más desafiante del primero y esta es la razón por la cual los libros de texto tratan solo con el mas sencillo? ¿Es esto algo similar a lo que sucede en la mecánica clásica, donde primero podrías estudiar solo las ecuaciones de Newton y solo luego introducir el enfoque de Hamilton?

El primer modelo vino primero. ¡No subestimes el poder de la inercia!
@Hurkyl No es solo inercia. La ecuación de Schrödinger está formulada de manera más limpia en términos de vectores, y aunque puede reformularla como la ecuación cuántica de Liouville (lo que hace cuando lo necesita), recibe un golpe significativo en claridad conceptual, facilidad de manipulación conceptual y eficiencia numérica. cuando lo haces. Mantienes la imagen más simple donde funciona porque hace que la ciencia sea mejor más fácilmente.

Respuestas (2)

La segunda vista es estrictamente más amplia que la primera y se usa para describir estados mixtos así como los estados puros descritos por la primera vista.

Hay varias situaciones diferentes que requieren el uso de estados mixtos, pero la más simple de entender es la de una fuente probabilística (clásica) para los estados. En este paradigma, tiene un procedimiento de preparación que normalmente da como resultado el estado puro | ψ ⟩ ∈ H , pero, por alguna razón, ocasionalmente falla y produce algo más. Por lo tanto, con (digamos) un 5% de probabilidad, el procedimiento de preparación en realidad le dará algunos otros | ψ ′ ⟩ ∈ H , y por el motivo que sea, no puede identificar estos casos antes de que se utilicen o seleccionarlos después.

La forma de describir estas situaciones es utilizando el formalismo de matrices de densidad . Todas y cada una de las predicciones mecánicas cuánticas para cantidades medibles experimentalmente involucrarán esencialmente un elemento de matriz de la forma

A = ⟨ ψ | A ^ | ψ ⟩ .
El formalismo de la matriz de densidad funciona mediante una reformulación inteligente de este valor esperado en la forma
A = T r ( A ^ | ψ ⟩ ⟨ ψ | ) ,
que se puede ver fácilmente para dar la misma cantidad (ya sea por cálculo directo en una base, o eligiendo una base con un miembro junto con | ψ ⟩ ).

En nuestra situación, sin embargo, estamos contemplando un procedimiento de preparación que podría producir un montón de estados diferentes, | ψ j ⟩ , con probabilidades pag j . Cada uno de estos producirá un valor esperado. A j = T r ( A ^ | ψ j ⟩ ⟨ ψ j | ) para nuestra cantidad, y luego necesitamos promediar esos resultados, ponderados con las probabilidades correspondientes pag j . Debido a la linealidad de la traza y la inteligente elección de nuestra representación, podemos resumir todo el procedimiento de preparación en una sola parte de la expresión:

A = ∑ j A j = T r ( A ^ ∑ j pag j | ψ j ⟩ ⟨ ψ j | ) .
Esto significa que el verdadero descriptor del sistema es la matriz de densidad ρ = ∑ j pag j | ψ j ⟩ ⟨ ψ j | , y nos da limpiamente el valor esperado de cualquier operador A ^ a través de A = T r ( A ^ ρ ) .

Ahora, la existencia de una fuente probabilística completamente clásica de estados cuánticos no está del todo exenta de desafíos, pero de cualquier manera estás atascado con matrices de densidad: la alternativa es tener un estado que está enredado con su entorno, y cuando decides ignorar el entorno (porque ya no participa en la medición), lo que queda también es un estado cuántico mixto para el sistema.

Más allá de cierto punto, entonces, los estados mixtos son una necesidad, y siempre que estén cerca, debe usar el operador de clase de seguimiento (la matriz de densidad) como su descriptor del estado del sistema.

Para cualquier estado cuántico (puro o mixto) siempre hay una representación (por la construcción GNS) donde el estado es (la proyección en) un vector del espacio de Hilbert (es una representación reducible para estados mixtos, pero aún así... ). Debido a este hecho, la descripción de estados mixtos como estados no vectoriales y estados puros como estados vectoriales es un poco engañosa y, en cierto sentido, simplista, ya que no tiene en cuenta de qué representación del álgebra de observables estamos tratando.
@yuggib Claro, pero el espacio vectorial más grande no es particularmente único y, lo que es más grave, la construcción no garantiza que el estado puro resultante sea físicamente significativo (creo que, al final, el entrelazamiento trazado es esencialmente la causa de todos los estados mixtos , pero no necesariamente obtiene la descripción correcta de dicho enredo), por lo que en ese sentido esa representación también es engañosa. (Además: ¿qué pasa si obtienes un estado genuino y fundamentalmente mixto? Entonces le estás ladrando al árbol completamente equivocado).
Sin embargo, en última instancia, es un debate bastante inútil: hay razones para ir en cualquier dirección, y esta publicación documenta las razones por las que elegiría ρ , con tanto guiño a la existencia del debate como me sentí todavía en forma dentro del flujo.
Solo digo que la "pureza" de un estado cuántico no está relacionada con el hecho de que sea un estado vectorial o no en alguna representación. Es una propiedad más fundamental: un estado puro es uno con "información máxima" sobre el sistema (es extremo con un ordenamiento parcial adecuado), mientras que un estado mixto tiene información no máxima. Esto depende solo del álgebra de los observables considerados, y no de un eventual enredo con un entorno. Por supuesto, un estado puro en un sistema compuesto puede convertirse en un estado mixto cuando se restringe a un subsistema, pero esa es otra historia.
Con el debido respeto, si bien eso es interesante y cierto, siento que está dominado por el OP mientras lo leo ("¿por qué incluso usar operadores en lugar de vectores?") - y estoy feliz de que tome el crédito si el OP está más interesado en esos aspectos de la diferencia.
Tal vez sea cierto que parece más avanzado que el nivel de la pregunta de OP, aun así creo que al menos vale la pena mencionarlo ;-) En mi opinión, es una de esas cosas sutiles que casi siempre no importan, pero cuando lo hacen pueden conducir a cosas sorprendentes si no se tienen en cuenta. No obstante, su respuesta es clara y probablemente aclarará las cosas al OP más que a la mía.

Los estados de los sistemas mecánicos cuánticos son en general funcionales del álgebra W* de observables del sistema, que son conservadores de positividad y de norma uno.

Todos los estados cuánticos no se pueden representar al mismo tiempo como vectores en un espacio de Hilbert dado. Todos los llamados estados normales se pueden representar con la proyección ortogonal en un solo vector o con un operador de clase de traza positivo con traza uno. Sin embargo, también existen estados no normales (al menos para álgebras de observables irreduciblemente representados en espacios de Hilbert de dimensión infinita). Sin embargo, estos estados no normales a menudo se consideran "no físicos" (creo que principalmente porque nadie observó un fenómeno que solo se explica con el sistema en un estado no normal).

Limitémonos a los estados normales únicamente. Existe una distinción importante entre estados puros y no puros que, en cierto sentido, está relacionada con la distinción entre estados de vector y estados de clase de traza. Los estados puros son los que llevan la máxima información sobre el sistema, mientras que los mixtos tienen información incompleta, y pueden ser pensados ​​como una "mezcla estadística" de estados puros. Los estados puros son los que dan una representación irreducible del álgebra de observables (a través de la construcción GNS). En una representación irreducible dada, todos los estados puros están dados por proyecciones de rango uno en vectores del espacio de Hilbert, mientras que los estados mixtos están dados por operadores de clase de traza que no son de rango uno.

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