¿Cómo calcular las extensiones puras de un estado mixto dado?

1. El hecho de que cada estado mixto$\rho$actuando sobre un espacio de Hilbert de dimensión finita puede verse como el estado reducido de algún estado puro$|\psi\rangle$en un espacio de Hilbert más grande se conoce como purificación, consulte esta página de Wikipedia , donde también se proporciona el algoritmo.

2. En el caso de OP de

   $$\rho~\in~\mathcal{B}(\mathbb{C}^n\otimes \mathbb{C}^n),$$ uno puede elegir un estado puro$|\psi\rangle$en el siguiente espacio de Hilbert $$|\psi\rangle~\in~\mathbb{C}^n\otimes \mathbb{C}^n\otimes \mathbb{C}^n\otimes \mathbb{C}^n.$$

Es un resultado general que cualquier estado cuántico mixto puede verse como el estado reducido de un estado puro en un espacio de Hilbert dimensional más grande. Esto se conoce como una purificación , y algunas personas incluso se refieren al poder de esta idea como la "Iglesia del espacio más grande de Hilbert".

Existe una forma canónica de construir una purificación, que tiene la ventaja de que demuestra inmediatamente cuál debe ser la dimensión mínima del espacio de Hilbert más grande. Así es como construyes una purificación: Deja$\rho$sea ​​un estado en un espacio de dimensión de Hilbert$d$con vectores propios$\{|\phi_i\rangle\}_{i=1}^d$. Entonces

$|\psi\rangle=\sum_{i=1}^d|i\rangle\otimes|\phi_i\rangle$

es una purificación de$\rho$, dónde$\{|i\rangle\}$es un conjunto ortonormal de vectores.

Por lo tanto, puede ver que siempre es posible construir una purificación y, además, el espacio de Hilbert ampliado en general debe tener una dimensión al menos dos veces mayor que la original.

Usted dice correctamente que tal estado no será único. De hecho, por ejemplo, escoja la mezcla estadística 50%-50% de dos estados base puros aleatorios en${\mathbb C}^n\otimes {\mathbb C}^n$. Cada uno de estos dos estados puede entrelazarse con uno de los dos estados ortogonales en el tercero.${\mathbb C}^n$; sin embargo, lo que estos dos estados en el espacio de Hilbert del tercer factor resultan ser es completamente indeterminado.

Entonces, incluso si tuviera un método constructivo para encontrar el estado puro en el espacio de Hilbert de tres partes, no generaría resultados únicos.

Sin embargo, hay otro problema mucho más serio con su propuesta: en casi todos los casos, no tiene solución alguna. De hecho, es fácil demostrar este hecho con un simple conteo de grados de libertad. estados puros en${\mathbb C}^n\otimes {\mathbb C}^n$son especificados por$n^2$diferentes números complejos (uno de ellos, la normalización compleja general, no es físico).

De manera similar, una matriz de densidad general en este espacio es una$n^2\times n^2$matriz hermitiana por lo que contiene$n^4$parámetros reales independientes (uno de ellos es la traza que probablemente debería establecerse en uno). Sin embargo, eso es más grande que$2n^3$número de parámetros reales provenientes de$n^3$parámetros complejos de una función de onda en${\mathbb C}^n\otimes {\mathbb C}^n\otimes{\mathbb C}^n.$Al menos para$n\gt 2$, es más grande. Entonces, hasta un subconjunto de casos de medida cero, no podrá encontrar ningún estado puro que se reduzca al estado mixto dado. La diversidad de los resultados requeridos (matrices de densidad) es mucho mayor que la diversidad de los ingredientes (estados de tres bloques puros) que puede usar para producir el resultado deseado.

Por supuesto, si solo tuviera una matriz de densidad para uno de los tres bloques, y no para dos, podría resolverlo. Al menos el conteo de los parámetros no haría imposible la existencia de una solución para una matriz de densidad genérica.

Dado un estado arbitrario$\rho\in\mathcal B(\mathbb C^n)$cuya descomposición propia lee

De esto podemos concluir varias cosas:

1. Un estado genérico$\rho$puede tener rango hasta$n$, por lo que la dimensión mínima del espacio de purificación necesario para acomodar las purificaciones de estados arbitrarios es$m=n$.
2. La estructura bipartita en el estado utilizada en el OP no es importante en esta discusión. Si$\rho\in\mathcal B(\mathbb C^n\otimes\mathbb C^n)$, eso solo significa que la dimensión del espacio es$n^2$, y todo lo demás sigue como se muestra en el caso general en el que no hacemos referencia a la estructura de partición de los estados.
3. ecuación (B) deja muy claro cuáles son las posibles purificaciones de$\rho$son: la libertad es todo y sólo en la elección de un conjunto ortonormal de$\mathrm{rank}(\rho)$vectores de algún espacio auxiliar arbitrario (con la única advertencia de que este espacio debe ser lo suficientemente grande para acomodar esta cantidad de elementos ortogonales).

Como comentario final, nótese que lo que en este contexto se denomina purificación , desde un punto de vista matemático equivale a la caracterización de operadores positivos$B$como aquellos operadores tales que$B=A A^\dagger$para algunos$A$. Es decir, el problema de purificar un estado dado$\rho$es similar a encontrar$A$tal que$A^\dagger A=B$para algunos dados$B\ge0$. Para ver esto, solo necesitamos darnos cuenta de que la operación de seguimiento parcial en un proyector de rango 1,$\operatorname{Tr}_2(v v^*)$, se expresa de manera equivalente como la multiplicación de matrices de los operadores que tienen$v,v^*$como vectorización. Más precisamente, con esto quiero decir que, para cualquier matriz (posiblemente rectangular)$A$,