Métodos para distinguir entre estados puros/mixtos y estados entrelazados/separables

Déjame primero responder a tus preguntas:

P1: No, la transposición parcial actúa sobre una parte del subsistema. Para hacer esto más claro, permítanme dar una definición real del criterio: Sea$\mathcal{H}_1,\mathcal{H}_2$sean dos espacios de Hilbert, entonces la transpuesta parcial en el segundo sistema se define mediante

$$^{PT}: \mathcal{B}(\mathcal{H}_1\otimes \mathcal{H}_2)\to \mathcal{B}(\mathcal{H}_1\otimes \mathcal{H}_2);\quad A\otimes B\mapsto A\otimes B^T$$

Obviamente, esto solo define la traza parcial sobre los estados del producto, pero el resto se hace por linealidad. Ahora, un estado de qubit (!) está enredado si y solo si el rastro parcial en cualquier subsistema no es positivo. Sin embargo, esto es equivalente a decir que un estado está entrelazado si y solo si la traza parcial en el segundo subsistema no es negativa, porque la traza parcial en el primer subsistema mapearía$A\otimes B\mapsto A^T\otimes B=(A\otimes B^T)^T$, es decir, si se compone la traza parcial sobre el segundo subsistema con la transposición sobre el sistema completo, se obtiene la traza parcial sobre el primer subsistema. Dado que la transposición deja invariantes los valores propios, si un estado no es positivo bajo la transposición parcial de cualquier subsistema, seguirá siendo no positivo bajo la transposición parcial del otro sistema.

Sin embargo, déjame enfatizar (como dijiste) que este criterio no es suficiente para probar la separabilidad en cualquier sistema más grande que un sistema compuesto por qubits y qutrits.

P2: La pureza y el entrelazamiento son conceptos completamente diferentes en el sentido de que la pureza se trata de un solo sistema, mientras que el entrelazamiento se trata de una bipartición del sistema, por lo que realmente no esperaría una caracterización de rango agradable. Sin embargo, si tienes un estado puro$\rho=|\psi\rangle\langle \psi|$, entonces puede decir algo, porque tal estado puro está enredado si y solo si su matriz de densidad reducida es pura, y dado que esto tiene una caracterización con rangos de matriz, tiene esa conexión. Sin embargo, esta conexión es falsa para estados mixtos enredados/separables y no sé si existe tal conexión.

Permítanme dar una breve prueba de la afirmación:$|\psi\rangle =\sum_{i=1}^k \lambda_i |\psi^1_i\rangle|\psi^2_i\rangle$ser un estado mixto arbitrario en su descomposición de Schmidt (nótese que el estado es separable si y sólo si$k=1$. Ahora, la matriz de densidad reducida del primer subsistema se ve fácilmente como:

$$\rho_{red}= \sum_{i=1}^k \lambda_i^2 |\psi^1_i\rangle\langle \psi^1_i|$$

que tiene como rango el rango de Schmidt de$\rho$. Dado que un estado es puro si su matriz de densidad es de rango uno, la matriz de densidad reducida es pura si y solo si el estado fuera separable.

¡En realidad, esta caracterización es exactamente el Ejercicio 2.78 en Nielsen&Chuang!

P3: Esto no se dijo en realidad, pero usted dice que se ha encontrado con esta condición que$\rho$es puro si es de rango uno. Permítanme aclarar un poco el tema: por definición,$\rho$es puro si es de la forma$|\psi\rangle\langle \psi|$para algunos$\psi$. Obviamente, esta matriz es de rango uno, ya que tiene un vector propio con valor propio 1 (a saber$|\psi\rangle$- dado que el estado está normalizado) y todos los demás vectores propios son 0 (todos los demás estados de una base ortonormal que comprenden$|\psi\rangle$). Por otro lado, si un estado es de rango 1, esto significa que solo tiene un vector propio$|\psi\rangle$con valor propio 1 y todos los demás valores propios son cero. Dado que la matriz de densidad es positiva, a través de la descomposición espectral esto implica que$\rho=|\psi\rangle\langle \psi|$.

Su problema: permítame señalar primero algunos conceptos erróneos, errores de anotación y problemas con la forma en que aborda su problema. Más adelante daré una solución.

tu escribes eso$\tau:\mathcal{H}_1\to\mathcal{H}_1$es un mapa lineal. Esto significa que dados los estados$|x_i\rangle$, el mapa$\tau$en realidad está representado por una matriz, que voy a denotar por$T$. Por supuesto,$TT^*$es entonces un operador positivo y se podría decir que es un "estado", pero no creo que se le pueda atribuir el mismo significado físico. Entonces escribes:

$$\sum_{i,j} |\tau x_i \rangle \langle \tau x_j | |y_i\rangle\langle y_j| = \sum_{i,j} |\rho x_i \rangle \langle x_j| |y_i\rangle \langle y_j|$$

Esta línea es realmente incorrecta. No puedes simplemente tirar de la$\tau$al otro lado como quieras. El problema es que la matriz del lado derecho probablemente ni siquiera sea hermitiana, mientras que la matriz del lado derecho definitivamente lo es. Por lo tanto, todo lo que sigue está mal.

Aún así, hay otro problema que me gustaría abordar: desea probar la separabilidad mostrando que la transposición parcial es positiva. Permítanme repetir de nuevo: esto no es posible. Si la transposición parcial no es positiva, el estado está enredado, pero la otra dirección (Si el estado está enredado, la transpuesta parcial no es positiva, o bien: Si la transpuesta parcial es positiva, el estado es separable) no se mantiene. dimensiones distintas de$2\times 3$y$2\times 2$. A veces hablas de "qubits", lo que implicaría que$\mathcal{H}_1=\mathcal{H}_2=\mathbb{C}^2$, pero realmente no especificaste esto.

El problema final, y esto es a lo que me refería antes: no especificaste el rango de los índices de tu suma en$|\Psi\rangle$. Si es la dimensión de$\mathcal{H}_1$, el enunciado que desea probar es esencialmente correcto; sin embargo, si no lo es, el enunciado que desea probar es totalmente incorrecto.

Mi solución:

Así que se nos da un estado$|\Psi_0\rangle=\sum_{i=1}^k |x_i\rangle|y_i\rangle$(¡tenga en cuenta que el estado está en descomposición de Schmidt!). Queremos decir algo sobre la separabilidad del estado.$|\Psi\rangle=\sum_{i=1}^k |\tau x_i\rangle|y_i\rangle$.

Por definición$\tau:\mathcal{H}_1\to \mathcal{H}_1$, es decir, si suponemos que$\{x_i\}_{i=1}^n$es una base, podemos definir$\tau$a través de$\tau(x_i)=\sum_j \lambda_{ji} x_j$. Hasta ahora, nada nuevo.

Ahora preguntamos: ¿Cuándo es$\Psi$¿separable? Primero tenga en cuenta que lo que sea$\tau$es,$|\Psi\rangle$sigue siendo puro, porque el mapa se define en el nivel de estados puros, por ejemplo, no siempre tendremos que ir a matrices de densidad.

Ahora echemos un vistazo al problema para diferentes números de elementos en la suma, es decir, para diferentes$k$en$|\Psi_0\rangle$. Primero cubre los casos fáciles:

k=1: Tenemos$|\Psi_0\rangle=|x_1\rangle|y_1\rangle$, lo que significa que comenzamos con un estado separable. En este caso,

$$|\Psi\rangle=|\tau x_1\rangle|y_1\rangle=\left(\sum_j \lambda_{1j}|x_j\rangle\right)\otimes |y_1\rangle$$ sigue siendo separable. Esto es completamente independiente de $\tau$.

k=n: Esto significa que tenemos esencialmente un estado de máxima mezcla. Para normalizarlo correctamente, debemos escribir$|\Psi_0\rangle=\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n |x_i\rangle|y_i\rangle$. ahora aplicamos$\tau$y queremos que el resultado sea separable, es decir, queremos:

$$|\Psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n |\tau x_i\rangle|y_i\rangle=\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n \left(\sum_{j=1}^n \lambda_{ji}|x_j\rangle\right)|y_i\rangle \stackrel{!}{=} |\phi\rangle|\varphi\rangle$$ para algunos estados $|\phi\rangle$y $|\varphi\rangle$. Este último bit es el criterio de separabilidad. Ahora tenga en cuenta que tenemos la suma y por multilinealidad del producto tensorial, la única forma de obtener $|\phi\rangle$y $|\varphi\rangle$como arriba seria tener $|\varphi\rangle=\sum_{i=1}^n |y_i\rangle$, es decir, la primera parte debe ser independiente de $i$. Esto significa $\sum_{j=1}^n \lambda_{ji}|x_j\rangle$debe ser igual a algún estado $|\phi\rangle$independiente de $i$, lo que significa (desde el $x_i$formar una base) que $\tau$debe mapear $|x_i\rangle$a $\lambda_i |\phi\rangle$(puede haber un factor dependiendo de $i$porque $\lambda_i|\phi\rangle \otimes |\varphi\rangle = |\phi\rangle \otimes \lambda_i|\varphi\rangle$siempre).

Esto significa:$|\Psi\rangle$es separable si y solo si$\tau$mapea cualquier estado del espacio de Hilbert$\mathcal{H}_1$a un estado proporcional a$|\phi\rangle$. El factor de proporcionalidad está dictado por la linealidad; de hecho, la mayoría de los estados deben asignarse a cero. Más concretamente, la matriz que representa$\tau$debe tener rango uno, porque la imagen es unidimensional. Esto significa que la matriz$\tau\tau^*$también es de rango uno si y solo si$|\Psi\rangle$es separable.

$1<k<n:$Este caso se encuentra entre los dos casos extremos anteriores. Es más engorroso, porque (si no me equivoco) el resultado será que$|\Psi\rangle$es separable si$\tau$mapea el espacio vectorial atravesado por$\{|x_i\rangle\}_{i=1}^k$a algún estado arbitrario o fijo$|\phi\rangle$, mientras que el complemento generado por$\{|x_i\rangle\}_{k+1}^n$(si suponemos que todos$x_i$son ortogonales) es arbitrario.