¿Por qué no es F=∂L∂qF=∂L∂qF = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q}?

Observaciones generales.

El impulso que defines en la primera ecuación, a saber

$$\begin{align} p = \frac{\partial L}{\partial \dot q} \end{align}$$ no es necesariamente el mismo impulso que aparece en la Segunda Ley de Newton. Este impulso se denomina impulso canónico conjugado con $q$, y puede ser bastante diferente del impulso al que está acostumbrado (el que aparece en la Segunda Ley) dependiendo de qué coordenadas generalizadas $q$se opta por parametrizar el espacio de configuración del sistema.

Ejemplo: Partícula libre en el plano.

Considere, una partícula que se mueve libremente en el plano. Podemos elegir coordenadas polares$(\rho, \phi)$en el plano con el que parametrizar el plano, y en estas coordenadas, el Lagrangiano lee

$$\begin{align} L(\rho, \phi) = \frac{1}{2}m(\dot \rho^2 + \rho^2\dot\phi^2), \end{align}$$ en cuyo caso, el momento canónico correspondiente a $\phi$lee $$\begin{align} p_\phi = \frac{\partial L}{\partial \dot \phi} = m\rho^2\dot\phi. \end{align}$$ ¿Cuál es esta cantidad? ¿Es el impulso que aparece en la Segunda Ley? Ciertamente no; las unidades no son correctas. Entonces, ¿qué se debe hacer con esto? Bueno, recuerda que el momento angular de tales partículas es $$\begin{align} \mathbf L = \mathbf x\times \mathbf p \end{align}$$ dónde $\mathbf p = m\dot{\mathbf x}$es el impulso al que estás acostumbrado según la Segunda Ley. Si escribimos esto en coordenadas polares, entonces obtenemos $$\begin{align} \mathbf L = \rho\hat{\boldsymbol\rho} \times m(\dot\rho\hat{\boldsymbol \rho} + \rho\dot\phi\hat{\boldsymbol\phi}) = m\rho^2\dot\phi\hat{\mathbf z} = p_\phi\hat {\mathbf z}, \end{align}$$ entonces encontramos que $p_\phi$es el momento angular de la partícula! Nótese, sin embargo, que si tuviéramos que escribir el mismo Lagrangiano en coordenadas cartesianas $(x,y)$, entonces encontraríamos que los momentos canónicos conjugados son $$\begin{align} p_x = m\dot x, \qquad p_y = m\dot y \end{align}$$ cuales son las componentes de la cantidad de movimiento que aparece en la Segunda Ley. En otras palabras, el momento canónico y el momento que aparecen en la Segunda Ley son iguales solo si uno elige escribir el Lagrangiano en coordenadas cartesianas.

Apéndice. Coordenadas cartesianas

Considere un sistema de una sola partícula que se mueve en tres dimensiones bajo la influencia de una fuerza conservadora independiente de la velocidad.$\mathbf F$, es decir, un sistema para el que existe una función$V = V(\mathbf x)$, la energía potencial, tal que

$$\begin{align} \mathbf F = -\nabla V \tag{$\star$} \end{align}$$ El Lagrangiano para tal sistema está dado por $$\begin{align} L(\mathbf x, \dot{\mathbf x}) = \frac{1}{2} m\dot{\mathbf x}^2 - V(\mathbf x), \end{align}$$ de lo que se deduce que $$\begin{align} \frac{\partial L}{\partial x^i} = -\frac{\partial V}{\partial x^i}, \end{align}$$ pero por $(\star)$la expresión del lado derecho es simplemente la $i$componente $F_i$de la fuerza, por lo que de hecho tenemos $$\begin{align} \frac{\partial L}{\partial x^i} = F_i \end{align}$$ en este caso. Esto se puede generalizar a cualquier número de partículas de una manera sencilla. De hecho, se discute en las notas a las que airwoz se vinculó en su comentario.