¿Podemos explicar matemáticamente la primera ley de Newton?

damon escribe:

Esencialmente, la segunda ley es la formulación matemática de la primera, f=ma, siendo f la fuerza desequilibrada que actúa sobre el otro cuerpo.

En realidad es al revés: la primera ley es un caso particular de la segunda ley, donde F = 0. Si ninguna fuerza actúa sobre un cuerpo, su velocidad no cambia.$F = 0 \rightarrow a = 0$

^{Nota: para ser precisos, lo que generalmente se conoce como segunda ley de Newton es en realidad la primera ley de Euler.}

Además de la respuesta concisa de Damon Blevins , debe indicar qué es un marco de inercia para poder medir su aceleración. Una respuesta práctica: llevas contigo un acelerómetro, y si este mide "cero", entonces la formulación de Damon es buena y la primera ley de Newton es que, en ausencia de cualquier fuerza neta sobre él, un cuerpo se moverá contigo o se moverá a la misma velocidad. una velocidad relativa constante a usted.

Si simplemente tiene un sistema general de coordenadas en el que ha encontrado una métrica$g$cumpliendo las ecuaciones de campo de Einstein de la Relatividad General que describen la distribución de la masa en el universo que te rodea, entonces la primera ley de Newton es que, en ausencia de cualquier fuerza neta sobre él, cualquier cuerpo debe seguir una línea geodésica definida por:

dónde$s$es cualquier parámetro adecuado que parametriza el camino del cuerpo (a menudo el tiempo adecuado) y$\Gamma$es el coeficiente de conexión (símbolo de Christoffel) derivado de la forma estándar de la métrica$g$:

Dado que la ecuación geodésica es de segundo orden, cualquier línea de este tipo está definida únicamente por la posición del espacio-tiempo del cuerpo y cuatro velocidades relativas al sistema de coordenadas en$t=0$.

Esencialmente, estas ecuaciones definen el movimiento de una masa puntual que, como dices, experimenta gravedad cero.

La primera ley es realmente solo la declaración de que existen marcos interciales.

$\sum \mathbf{F} = 0\; \Leftrightarrow\; \frac{\mathrm{d} \mathbf{v} }{\mathrm{d}t} = 0.$

¿Es eso lo suficientemente bueno?

Escribes "A velocidad constante no hay aceleración. (f'(x)=v'=0=a). Si a=0 entonces F=ma=0 y, por lo tanto, ninguna fuerza actúa sobre el objeto, por lo que el objeto continuará en la misma dirección, si la hay", que suena como:

Si la velocidad es constante, entonces la aceleración es cero, y luego la fuerza neta es cero (que usa la segunda ley y es lo opuesto a la primera ley de Newton, pero todo es correcto hasta ahora), pero luego continúas y dices que el objeto continúa a velocidad constante. Pero esa fue su suposición, por lo que es extraño que también sea su conclusión. Ahora, si quería que apareciera la primera ley de Newton donde dice "ninguna fuerza [neta] actúa sobre el objeto, por lo que el objeto continuará en la misma dirección", esa es la esencia de la primera ley. Pero no es una explicación.

La primera ley es un complemento de la segunda ley. La segunda ley dice que$F=ma$, pero desafortunadamente$F=ma$no nos dice si los objetos en reposo sujetos a una fuerza neta cero permanecen en reposo o comienzan a moverse (ver No unicidad en las soluciones de la ecuación de movimiento de Newton por Abhishek Dhar Am. J. Phys. 61, 58 (1993); http : //dx.doi.org/10.1119/1.17411 para ver soluciones a F=ma que violan la primera ley de Newton).

Editar : Editado para responder a las preguntas.

Para responder a su pregunta del título, la primera ley no puede derivarse de las otras leyes de Newton, por lo que no puede explicarse en ese sentido. Si desea una explicación matemática de la primera ley, puede escribir:

Dada una ley de fuerza$F=F(x,v,t)$y cualquiera de las muchas soluciones posibles$x=x(t)$tal que$F(x(t),v(t),t)=m a(t)$vale para todos$t$entonces la propia inclinación de un cuerpo a permanecer a velocidad constante selecciona algunas soluciones$x=x(t)$a favor de otras soluciones. Específicamente cualquier solución (es decir$x=x(t)$tal que$F(x(t),v(t),t)=m a(t)$vale para todos$t$) que tiene$x(t)=x(t_0)+(t-t_0)v(t_0)$mantener durante$t$en algún intervalo$[t_0,t_1]$(dónde$t_1 > t_0$, y$F(x(t_0),v(t_0),t_0)=0$) se selecciona sobre otras soluciones (otras$x=x(t)$tal que$F(x(t),v(t),t)=m a(t)$vale para todos$t$).

Es decir, cuando no hay fuerza neta, la propia inercia del cuerpo insiste en que la velocidad permanezca constante, no simplemente en que la aceleración sea cero como lo requeriría F=ma.

Podemos ver la primera ley en efecto mirando un ejemplo donde entra en juego. La función$x(t)=0$y la funcion$x(t)=(Kt)^3$Ambos tienen una aceleración de cero en$t=0$, solo en el primero la velocidad es constante. Entonces$x(t)=0$tiene todo ese intervalo de$t$donde la velocidad es uniforme, mientras que$x(t)=(Kt)^3$no es. Si ambas son soluciones a$F=ma$, entonces$F=ma$le gustan ambos, pero la primera ley dice que la propia tendencia del cuerpo al movimiento uniforme selecciona el primero sobre el segundo. Tenga en cuenta que las funciones$x(t)$Ambos tienen$x(0)=0$,$v(0)=0$,$a(0)=0$pero solo la solucion$x(0)=0$permanece a velocidad constante, porque una velocidad constante es mucho más fuerte que simplemente cambiar la velocidad lo suficientemente lento como para que$a=0$. La primera ley selecciona esa solución de movimiento uniforme entre las muchas que permite la segunda ley.

Ahora veamos esa primera ley en acción. Considere un potencial escalar$V=-Cx^{(4/3)}$, entonces$F=ma$selecciona como solución funciones de tiempo$x=x(t)$tal que$ma=F(x)=(4/3)Cx^{(1/3)}$. ¿Cuáles son algunas soluciones? La función$x(t)=0$es una solución porque$F(x)=(4/3)Cx^{(1/3)}=0=m0=ma$. ¿Qué pasa con funciones como$x(t)=(Kt)^3$? Ellos tienen$a(t)=K^36t$y$x^{(1/3)}=Kt$, así que necesitamos$m(K^36t)=ma=F=(4/3)Cx^{(1/3)}=(4/3)CKt$, que se cumple cuando$K^2=\frac{2C}{9m}$. Entonces el potencial$-Cx^{(4/3)}$da una ley de fuerza que tiene una solución donde$x(t)=0$y otra solución donde$x(t)=(2C/9m)^{(3/2)}t^3$. Ambos tienen$x(0)=0$, ambos tienen$v(0)=0$, ambos satisfacen$F=ma$. Ambos son predichos por la segunda ley si no tenemos la primera ley. Pero la primera ley señala que la primera,$x(t)=0$permanece a velocidad constante cuando no actúa ninguna fuerza neta. La primera ley de Newton dice que esto se debe a que el cuerpo tiene su propia tendencia a seleccionar esa solución. Complementa la segunda ley, porque la segunda ley no dice que el cuerpo tiene que permanecer a velocidad constante, solo que cambia la velocidad tan lentamente que$a=0$cuando la fuerza es cero. La solución$x(t)=(Kt)^3$es un ejemplo donde la velocidad nunca es constante. En cambio, la velocidad simplemente cambia lo suficientemente lento en$t=0$permitir$a(0)=0$donde la fuerza externa neta es cero.

La primera ley es muy, muy poderosa, te dice que cuando ves que un cuerpo cambia su movimiento uniforme, debes buscar una fuerza externa , y te dice que cuando su movimiento permanece uniforme, no debesnecesita buscar fuerzas externas, que puede hacerlo por sí mismo. Newton incluso consideró las rotaciones como un movimiento uniforme. Se trata de fuerzas externas contra las propias fuerzas del cuerpo. Por ejemplo, cuando un cuerpo gira, se vuelve achatado (se expande alrededor de las partes que se mueven a mayor velocidad tangencial) porque es lo que genera las fuerzas internas que imponen esa rotación uniforme. Newton notaría que la tierra es achatada alrededor del centro, no debido a una fuerza externa (las mareas de la luna serían un ejemplo de una fuerza externa, y esas no son constantes). La tierra es achatada en todo el centro para que el cuerpo de la tierra pueda ejercer su propia fuerza para mantenerse en rotación uniforme. Las tres leyes trabajan juntas y hacen algo, junto con su sistema del mundo.

Eso aborda la pregunta del título.

En cuanto a la siguiente pregunta, si la primera ley solo se aplica en gravedad cero. Puede usarlo en cualquier momento que no haya una fuerza externa neta, es solo que cuando no hay una fuerza externa neta,$F=ma$permite un movimiento no uniforme. La primera ley dice que el cuerpo tiene su propia tendencia hacia el movimiento uniforme. Esa tendencia es anulada por una fuerza externa neta, por lo que en esas situaciones, use$F=ma$.

Eso responde a la segunda pregunta.

En cuanto a su última pregunta sobre si lo que escribió explica matemáticamente la primera ley, eso es lo que abordé al comienzo de la publicación. Sus declaraciones asumen un movimiento uniforme, luego concluyen que hay un movimiento uniforme, por lo que sus declaraciones no explican absolutamente nada. La segunda ley ya nos dice que cuando no hay fuerza neta entonces tienes que cambiar tu velocidad lo suficientemente lento para obtener$a=0$(p.ej$x(t)=0$, o$x(t)=x(0)+v(0)t$o incluso$x(t)=x(0)+v(0)t+(Kt)^3$, los tres de los cuales cambian sus respectivas velocidades lo suficientemente lento en$t=0$tener$a(0)=0$). La primera ley te dice que cuando la fuerza neta es cero, hay una tendencia adicional del cuerpo a mantener su movimiento uniforme, y que esto se activa y hace que mantenga un movimiento uniforme cuando no hay fuerzas externas netas actuando.

La primera ley de Newton se trata de una tendencia hipotética nueva (no griega antigua) de los cuerpos a permanecer en movimiento uniforme. Contradecía las antiguas tradiciones griegas. Las dos primeras leyes juntas nos dan más información que la segunda ley por sí sola. Entonces puedes usar la primera ley para complementar lo que te dice la segunda ley. Cada ley se puede utilizar para hacer algo.

Puedes hacer leyes de masa y fuerza. La tercera ley del movimiento dice que rechacemos aquellas leyes de fuerza que no conservan el impulso. La segunda ley dice que puedes observar historias de desplazamiento$x(t)$, y a partir de ellos calcular historias de aceleración$a(t)$y úsalos para comparar$x(t)$a las soluciones de$ma(t)=F(x(t),v(t),t)$, y así rechazar las leyes de fuerza. La primera ley dice que puedes rechazar ciertas soluciones a$F=ma$, lo cual es genial ya que da demasiadas soluciones de todos modos.

La primera ley trata al 100% de restringir las soluciones a la segunda ley, por lo que sirve como complemento. También dice por qué, y que es la tendencia natural de un cuerpo a permanecer en movimiento uniforme lo que hace que permanezca en movimiento uniforme cuando no está sujeto a ninguna fuerza externa neta.

Esencialmente, la segunda ley es la formulación matemática de la primera,$F=ma,$ $F$siendo la fuerza desequilibrada que actúa sobre el otro cuerpo.

Ya está respondido, pero agregaré algunos puntos más.

Para formular matemáticamente la primera ley , primero debemos formular la segunda ley .

Segunda ley de Newton :
La fuerza que causa la aceleración es proporcional a la tasa de cambio del impulso con el tiempo y actúa en la dirección del cambio.

Ahora,$k$, por definición de$1\ \text{Newton}$, es$1$ $(1\ N = 1\ ms^{-2})$.
$\therefore\ F=ma$

Ahora si$F=0$, Cualquiera$a$o$m$o ambos deben ser cero. Sabemos$m$es distinto de cero, por lo tanto$a=0$. Esto significa

Primera Ley de Newton :
Un objeto en reposo permanece en reposo y un objeto en movimiento permanece en movimiento con la misma velocidad y en la misma dirección a menos que una fuerza desequilibrada actúe sobre él.