Definición de energía cinética

La energía cinética rotacional de un objeto rígido está dada por$T = \frac{1}{2} \sum_{i \space j} T_{i \space j} \omega_i \omega_j$, donde en este caso$T_{i \space j} = I_{i \space j}$es el tensor de inercia y el$\omega_i$son las componentes del vector de velocidad angular del objeto rígido. Y como señaló Qmechanic en su comentario, dado que este$I_{i \space j}$es simétrico, siempre se puede diagonalizar mediante un cambio ortogonal de coordenadas al eje principal. Pero si uno no usa tales coordenadas, en general tendrá términos cruzados ("UN término en diferentes$v_i , v_j$").

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Como otra posibilidad, supón que por alguna razón quieres trabajar con coordenadas$q_1$y$q_2$definido por

$$\begin{cases} q_1 = x + y \\ q_2 = y \end{cases}$$

de modo que

$$\begin{cases} x = q_1 - q_2 \\ y = q_2 \end{cases}$$

y

$$\begin{cases} v_x = v_1 - v_2 \\ v_y = v_2 \end{cases}$$

lo que da

$$T = \frac{1}{2}(v_x^2 + v_y^2) = \frac{1}{2}((v_1 - v_2)^2 + v_2^2) = \frac{1}{2}(v_1^2 - 2v_1 v_2 + 2v_2^2) = \frac{1}{2} \sum_{i \space j} T_{i \space j} v_i v_j$$

con$T_{1 \space 1} = 1$,$T_{1 \space 2} = T_{2 \space 1} = -1$, y$T_{2 \space 2}=2$.