¿Hay ejemplos en la mecánica clásica donde falla el principio de D'Alembert?

Dado un sistema de$N$partículas puntuales con posiciones${\bf r}_1, \ldots , {\bf r}_N$; con los desplazamientos virtuales correspondientes $\delta{\bf r}_1$,$\ldots$,$\delta{\bf r}_N$; con momentos${\bf p}_1, \ldots , {\bf p}_N$; y con fuerzas aplicadas${\bf F}_1^{(a)}, \ldots , {\bf F}_N^{(a)}$. Entonces el principio de D'Alembert establece que

$$\tag{1} \sum_{j=1}^N ( {\bf F}_j^{(a)} - \dot{\bf p}_j ) \cdot \delta {\bf r}_j~=~0.$$

la fuerza total

$${\bf F}_j ~=~ {\bf F}_j^{(a)} +{\bf F}^{(ec)}_j+{\bf F}^{(ic)}_j + {\bf F}^{(i)}_j + {\bf F}_j^{(o)}$$

sobre el$j$La 'ésima partícula se puede dividir en cinco tipos:

1. fuerzas aplicadas${\bf F}_j^{(a)}$(que hacemos un seguimiento y que no son fuerzas de restricción).

2. una fuerza de restricción externa${\bf F}^{(ec)}_j$del medio ambiente

3. una fuerza de restricción interna${\bf F}^{(ic)}_j$desde el$N-1$otras partículas.

4. una fuerza interna${\bf F}^{(i)}_j$(que no es una fuerza aplicada o de restricción de tipo 1 o 3, respectivamente) de la$N-1$otras partículas.

5. Otras fuerzas${\bf F}_j^{(o)}$no incluidos ya en los tipos 1, 2, 3 y 4.

Por la segunda ley de newton${\bf F}_j= \dot{\bf p}_j$, el principio de D'Alembert (1) es equivalente a$^1$

$$\tag{2} \sum_{j=1}^N ( {\bf F}^{(ec)}_j+{\bf F}^{(ic)}_j+{\bf F}^{(i)}_j+{\bf F}_j^{(o)}) \cdot \delta {\bf r}_j~=~0.$$

Entonces, la pregunta de OP se puede reformular esencialmente como

¿Hay ejemplos en mecánica clásica donde la ec. (2) falla?

ecuación (2) podría fallar trivialmente, si tenemos fuerzas${\bf F}_j^{(o)}$de tipo 5, por ejemplo, fricción deslizante, que nosotros (por alguna razón) no contamos como fuerzas aplicadas de tipo 1.

Sin embargo, OP pregunta específicamente sobre las fuerzas internas.

Para un cuerpo rígido , para excluir contribuciones por pares de tipo 3, se necesita la tercera ley de Newton fuerte, cf. esta respuesta Phys.SE. Entonces, si estas fuerzas no son colineales, esto podría llevar a la violación de la ec. (2).

Para fuerzas internas de tipo 4, en general no hay razón para que deban respetar la ec. (2).

Ejemplo: Considere un sistema de dos masas puntuales conectadas por un resorte ideal. Este sistema no tiene restricciones, por lo que no hay restricciones a la clase de desplazamientos virtuales. Es fácil violar la ec. (2) si contamos la fuerza del resorte como una fuerza tipo 4.

Referencia:

H. Goldstein, Mecánica Clásica, Capítulo 1.

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$^1$Es tentador llamar a la ec. (2) el Principio del trabajo virtual , pero estrictamente hablando, el principio del trabajo virtual es solo el principio de D'Alembert (1) para un sistema estático.

Puede tener instancias en las que no haya un extremo local de la acción, por ejemplo, tome el lagrangiano$L=m\left(\dot x ^{2}+\dot y^{2}\right)$sobre el espacio definido por una media luna incrustada en$\mathbb{R}^2$--entonces, a pesar de que las puntas de la media luna son puntos de inicio y final perfectamente buenos en su dominio, no hay una ruta extrema que los conecte--tendría que ser la línea recta que sale del dominio de su espacio de configuración.

Pero es cierto que este es un ejemplo artificial.

Tengo un ejemplo interesante:

Considere dos bloques que se mueven en línea y una varilla eléctrica inteligente los conecta. Todo es sin fricciones. La barra puede tomar medidas de las coordenadas de los dos bloques y cambiar la longitud para asegurarse siempre de que$x_2 = 2x_1$. Entonces suponemos que la masa de la barra es despreciable, de modo que las fuerzas que ejerce sobre los dos bloques son exactamente opuestas. Ahora, tenemos una ecuación de restricción, y cada vez que la barra cambia de longitud y aplica una fuerza distinta de cero, el principio de D'Alembert falla.

La forma de arreglar la ecuación de Lagrange para este tipo de restricción es agregar la fuerza generalizada$Q_i^{(c)}$creado por la restricción ($0$si se cumple el principio de D'Alembert) a la derecha:

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = Q_i + Q_i^{(c)}$$