Probando el segundo tipo de ecuaciones de la Mecánica Lagrangiana

Soy nuevo en la mecánica clásica y aprendí algo nuevo y genial, las ecuaciones de segundo tipo de la mecánica lagrangiana. Entonces, solo estaba probando si realmente funciona o no. Entonces, hice una pregunta para probarlo, pero creo que tengo algún problema aquí.

Primero, asume la$x$coordenada de la bola de masa$m$. Inicialmente, está en$x=0$, bajo la influencia de la gravedad, debería caer (suponiendo que la configuración sea tal que la gravedad actúe desde abajo).

Entonces, la ecuación genial dice que:

$$\displaystyle{\boxed{\boxed{ \dfrac{d}{dt} \left ( \dfrac{\partial L}{\partial {x'} } \right) - \dfrac{\partial L}{\partial x} = 0 }} \quad \dots \quad (*)}$$ Dónde,$L = K.E. - P.E. = ( mg \sin \theta x) - (mg \sin \theta h)\quad \dots \quad (1)$

Sin embargo, usar la ecuación de Euler-Lagrange (*) con el Lagrangiano (1) no me da una respuesta sensata, entonces mi pregunta es ¿dónde está mi error?

Entonces, calculé KE aquí como:$K = \frac 1 2 m v^2 = \frac 1 2 m (2(g \sin \theta) x) \quad \dots \quad (\text{As }v^2 = u^2 + 2as)$

y$P = mgh = mg\sin \theta(h - x )$

El problema podría tener que ver con el uso$v^2=2as$en la energía cinética (como se sugiere en los comentarios), pero no veo por qué esto es incorrecto.

Entonces, ¿por qué no puedo sustituir las ecuaciones de velocidad en esa ecuación de Lagrangian (esa parte de la energía cinética)?