Conservación del momento lineal en el punto de colisión

En lugar de tratar la colisión como si sucediera instantáneamente, es decir, tomando un tiempo cero, suponga que toma un tiempo desconocido pero distinto de cero y que durante ese tiempo hay alguna fuerza entre los cuerpos que chocan,$F(t)$eso es una función del tiempo.

El cambio en el momento del objeto 1 es solo el impulso$J$dada por:

$$J_1 = \int \space F_{12} dt$$

Pero la tercera ley de Newton nos dice que la fuerza sobre el segundo objeto es igual y opuesta a la fuerza sobre el primer cuerpo, por lo que el cambio de cantidad de movimiento del segundo cuerpo es el impulso:

$$J_2 = \int \space -F_{12} dt = -J_1$$

Y por lo tanto, el cambio de momento total durante la colisión es cero.

Tenga en cuenta que no hemos hecho suposiciones sobre cuánto dura la colisión o las fuerzas que actúan durante ella. Puedes dejar que el tiempo de colisión tienda a cero, pero si lo haces, la fuerza tenderá a infinito y te quedas con el problema no físico de integrar una fuerza infinita por tiempo cero.

Durante la colisión, la partícula 1 ejercerá una fuerza sobre la partícula 2. Llamemos a esta fuerza$F_{12}(t)$. Ahora, al mismo tiempo, la partícula 2 ejercerá una fuerza sobre la partícula para,$F_{21}(t)$. Según la tercera ley de Newton,$F_{21}(t)=-F_{12}(t)$.

Supongamos que la colisión ocurre de$t=0$hasta$t=\tau$, entonces$F_{12}(t)=0$fuera de este intervalo.

De la segunda ley del movimiento de Newton, obtenemos para la primera partícula:

$$m_1 \frac{dv_1}{dt}=F_{21}=-F_{12}$$

O, en otras palabras

$$m_1v_1(\tau)-m_1v_1(0)=-\int_0^\tau F_{12}dt$$

Y, para la partícula 2

$$m_2v_2(\tau)-m_2v_2(0)=\int_0^\tau F_{12}dt$$

El término del lado derecho también se conoce como impulso .

Ahora, mira lo que sucede si sumamos las dos últimas ecuaciones:

$$m_1v_1(\tau)-m_1v_1(0)+m_2v_2(\tau)-m_2v_2(0)=-\int_0^\tau F_{12}dt+\int_0^\tau F_{12}dt$$

O, en otras palabras

$$m_1v_1(0)+m_2v_2(0)=m_1v_1(\tau)+m_2v_2(\tau)$$

Y por lo tanto

$$C_1=C_2$$