Encontrar la representación matricial de un superoperador

Si desea escribir un superoperador que represente la multiplicación por la izquierda o por la derecha, existe un método distinto que es más simple y elegante. Definamos el superoperador de multiplicación por la izquierda por

$$\mathcal{L}(A)[\rho] = A\rho,$$ y el superoperador de multiplicación por la derecha por $$\mathcal{R}(A)[\rho] = \rho A.$$ Debe quedar claro que estas operaciones conmutan, es decir $\mathcal{L}(A)\mathcal{R}(B) = \mathcal{R}(B)\mathcal{L}(A)$. Muchos superoperadores comunes se pueden representar como una suma de estos componentes elementales, por ejemplo, el conmutador: $$[H,\rho] = \mathcal{L}(H)[\rho] - \mathcal{R}(H)[\rho].$$ En realidad creo que todos los superoperadores pueden representarse en términos de estas operaciones elementales, aunque nunca lo he probado: parece bastante obvio.

Ahora, para representar estas operaciones como matrices, debe aplanar su operador de destino en un vector. Una forma de realizar este mapeo es la siguiente

$$\tag{1}\rho = \sum_{i,j} \rho_{ij}\;\lvert i\rangle\langle j\rvert \to \sum_{i,j} \rho_{ij}\;\lvert i\rangle\otimes\lvert j \rangle .$$ En esta representación aplanada encontramos $$\mathcal{L}(A)[\rho] = \sum_{i,j} \rho_{ij}\;A\lvert i\rangle\langle j\rvert \to \sum_{i,j} \rho_{ij}\;(A\lvert i\rangle)\otimes\lvert j \rangle = \sum_{i,j} \rho_{ij}\;(A\otimes \mathbb{1})\lvert i\rangle\otimes\lvert j \rangle.$$ Por lo tanto, el superoperador de multiplicación por la izquierda está representado por la matriz $\mathcal{L}(A)= (A\otimes\mathbb{1})$. Del mismo modo, debe poder demostrar que $\mathcal{R}(A) = (\mathbb{1}\otimes A^T)$.

Tenga cuidado: muchos paquetes estándar de álgebra lineal por computadora no realizan automáticamente el mapa de aplanamiento de acuerdo con la ecuación. (1). Por ejemplo, la función remodelar() de MATLAB utiliza una convención diferente, lo que significa que estas fórmulas deben adaptarse.

Esto es exactamente análogo al procedimiento para encontrar elementos de matriz de operadores normales. Primero recordemos cómo funciona esto en el caso familiar. Eliges una base ortonormal de vectores, digamos$|n\rangle$, con$n = 1,2,\ldots D$, dónde$D$es la dimensión del espacio de Hilbert, tal que$\langle n\rvert m\rangle = \delta_{mn}$. Ahora los elementos de la matriz de un operador$A$son dados por

$$A_{mn} = \langle m\rvert A\lvert n\rangle.$$

El procedimiento para superoperadores es el mismo, pero el producto interno es diferente. Aquí es conveniente utilizar el producto de Hilbert-Schmidt de dos operadores:

$$(A,B) = \mathrm{Tr}\{A^{\dagger}B\}.$$ Ahora debe encontrar una base ortonormal completa con respecto a este producto de Hilbert-Schmidt, es decir, un conjunto de matrices $M_\mu$, con $\mu = 1,2,\ldots,D^2$, tal que $(M_\mu,M_\nu) = \delta_{\mu\nu}$. Una opción conveniente para $D=2$es la base de Pauli: $$M_\mu \in \left\lbrace\frac{1}{\sqrt{2}}\mathbb{1},\frac{1}{\sqrt{2}}\sigma^x,\frac{1}{\sqrt{2}}\sigma^y,\frac{1}{\sqrt{2}}\sigma^z\right\rbrace.$$ Otra elección simple de base que es fácil de generalizar es el conjunto de $D^2$matrices que tienen un elemento con valor $1$, y todos los demás elementos son $0$.

Ahora si tienes un superoperador$\mathcal{L}$, encuentras los elementos de su matriz a través de la fórmula

$$\mathcal{L}_{\mu\nu} = (M_\mu, \mathcal{L}[M_\nu] ).$$ Por ejemplo, si tienes un hamiltoniano $H$generando un Liouvillian $\mathcal{L}[\bullet] = -i[H,\bullet]$, uno de sus elementos de matriz en la base de Pauli se encontraría a partir de $$\mathcal{L}_{xy} = \frac{-i}{2}\mathrm{Tr}\left\lbrace\sigma^x [H,\sigma^y]\right\rbrace.$$