Si B1, B2B1, B2B_1, B_2 y B2, B3B2, B3B_2, B_3 son MUB, ¿podemos concluir que B1, B3B1, B3B_1, B_3 son MUB o tienen matrices de Hadamard equivalentes?

Esta pregunta se puede formular de dos maneras. Que haya dos d -bases ortonormales dimensionales B 1 y B 2 . Me refiero a los elementos de B 1 por | v i ⟩ y a los elementos de B 2 por | ω j ⟩ . Estas dos bases son mutuamente imparciales, a saber: | ⟨ ω j | v i ⟩ | 2 = 1 / d para todos | ω j ⟩ y | v i ⟩ . Definimos algún vector | τ ⟩ tal que | τ ⟩ es ortonormal a un elemento de B 2 , decir | ω metro ⟩ y es mutuamente imparcial con respecto a todos los elementos en B 1 : | ⟨ τ | v i ⟩ | 2 = 1 / d para todos | v i ⟩ . ¿Podemos concluir que | τ ⟩ es igual a un miembro de B 2 decir | ω pag ⟩ para algunos pag ≠ metro hasta una diferencia de fase?

Otra forma de llegar a la misma conclusión es preguntar esto: Sean tres bases ortonormales B 1 , B 2 y B 3 . B 1 y B 2 son mutuamente imparciales, al igual que B 2 y B 3 . ¿Podemos concluir que B 1 y B 3 son mutuamente imparciales o tienen matrices de Hadamard equivalentes? Esta pregunta para mí es particularmente importante ya que en la literatura siempre se habla de conjuntos de bases pares mutuamente imparciales. Pero no se ha dado ninguna prueba del hecho de que tres bases mutuamente imparciales deban ser necesariamente MUB por parejas.

Respuestas (1)

La respuesta a tu primera pregunta es no .

Considere el espacio de Hilbert tridimensional C 4 , y deja B 1 ser la base canónica y

B 2 = { 1 2 ( 1 1 1 1 ) , 1 2 ( 1 i − 1 − i ) , 1 2 ( 1 − 1 1 − 1 ) , 1 2 ( 1 − i − 1 i ) } .
Entonces el vector | τ ⟩ = 1 2 ( 1 , i , − i , − 1 ) T es imparcial con respecto a B 1 , ortogonal al primer vector de B 2 , y no presente en B 2 incluso hasta una fase.

Este mismo truco se puede utilizar para producir una tercera base,

B 3 = { 1 2 ( 1 1 1 1 ) , 1 2 ( 1 i − i − 1 ) , 1 2 ( 1 − 1 − 1 1 ) , 1 2 ( 1 − i i − 1 ) } ,
que es mutuamente imparcial con respecto a B 1 , pero no tiene tal relación con B 2 .

Por otro lado, esta tercera base está obviamente relacionada con B 2 por una simple permutación. No estoy seguro de qué tipo de equivalencias está permitiendo para las matrices de Hadamard, que supongo que quiere decir H = ∑ j | ω j ⟩ ⟨ v j | . Si requieres eso H ′ ∼ h si y solo si H ′ = tu † H tu , entonces no estoy seguro pero sospecho que las matrices de Hadamard de B 2 con B 1 y B 3 con B 1 no son equivalentes. Si permite relaciones de la forma H ′ = tu H entonces estás en territorio peligroso ya que cualquier base es accesible de esta manera.

Si B1, B2B1, B2B_1, B_2 y B2, B3B2, B3B_2, B_3 son MUB, ¿podemos concluir que B1, B3B1, B3B_1, B_3 son MUB o tienen matrices de Hadamard equivalentes?
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