Pregunta:
Un Secretario de Estado desea encuestar a los propietarios principales de motocicletas registradas en el estado para estimar la proporción que desea que se rediseñen las placas. (Propietario principal significa que si se incluye más de un propietario, la persona que aparece en primer lugar se considera el propietario principal). Hay 6.000.000 de motocicletas registradas. Le pide a un empleado que tome la muestra, quien luego toma un SRS con reemplazo de 1000 números de placas correspondientes a las motocicletas. Todos los 1000 números de matrícula son distintos, sin duplicados. El empleado envía un cuestionario a todos los propietarios principales de esas motocicletas. La tasa de respuesta es del 100%, y 400 de los 1000 encuestados informan que están a favor de rediseñar las placas y los 600 restantes informan que no están a favor de rediseñar las placas. Después de recibir estos datos, el empleado se da cuenta de que algunas personas poseen varias motocicletas y podrían haber sido incluidas varias veces en la encuesta. Sin embargo, de hecho, ningún propietario fue seleccionado más de una vez.
(a) ¿Es la proporción de la muestra (40% o 400/1000) un estimador imparcial de la proporción de propietarios principales de motocicletas que desean rediseñar las placas? ¿Por qué o por qué no?
(b) El empleado averigua cuántas motocicletas ha registrado cada encuestado en el estado y prepara la siguiente tabulación.
Dada toda esta información, calcule el número total de propietarios principales de motocicletas que desean que se rediseñen las placas.
Para (a), considere a Alice, que tiene dos motocicletas, y a Bob, que tiene una. ¿Cuál era la probabilidad previa de que Alice fuera seleccionada para la encuesta? ¿Cuál era la probabilidad de Bob?
Para (b), se podría pensar que el departamento podría determinar el número total de propietarios de motocicletas con exactamente una motocicleta registrada cada uno, y multiplicar la fracción estimada de aquellos propietarios que favorecen el rediseño por el número total, estimando así el número total de propietarios de motocicletas de uno. propietarios de motocicletas que favorecen el rediseño; y de manera similar para propietarios de dos motocicletas, propietarios de tres motocicletas, etc. Pero dado que esa información no está disponible para nosotros aquí, podríamos estimarla a partir del número de respuestas de cada clase de propietario, si podemos corregir los sesgos en el número de propietarios de cada clase seleccionada. (Estoy bastante seguro de que la estimación imparcial del número de propietarios de una motocicleta es mayor que de la población.)
Sobre todo, sin embargo, estaría alarmado por la extrema improbabilidad de seleccionados propietarios distintos de este grupo simplemente por casualidad, dado el método de selección. Me parece muy probable que alguien que realiza esta encuesta ya haya cometido un error grave o haya descrito de manera sustancialmente incorrecta lo que estaba haciendo. Pero supongo que esa preocupación está fuera del alcance de esta pregunta.
Presuntamente, la opinión de alguien no cambia cuando se le pregunta varias veces, pero puede depender de la cantidad de motocicletas que posee . Si es así, entonces el valor esperado de su proporción muestral es . Por lo tanto, su estimador está sesgado si existe una estratificación sustancial de las opiniones en función del número de motocicletas que posee. En su caso, diría que tiene una muestra sesgada, ya que incluso si solo tiene una respuesta de cada propietario principal, es más probable que los propietarios que poseen más motocicletas se incluyan en la encuesta. Asimismo, los datos indican que el número de motocicletas en propiedad es un predictor de opinión.
En cuanto a (b): deberá dividir la cantidad de respuestas por la cantidad de motocicletas que posee, luego hacer un promedio ponderado de las proporciones observadas y luego multiplicar por 6 millones.