Teorema del límite central y Slutsky

Dejar ( A i ) sea ​​una serie de variables aleatorias iid positivas con 0 < mi [ A 1 2 ] < ∞ ,

Dejar ( B i ) ser una serie de variables aleatorias iid independientes de ( A i ) y 0 < Var ⁡ [ B 1 ] < ∞ .

Entonces

X norte → d norte ( 0 , Var ⁡ [ B 1 ] mi [ A 1 2 ] ( mi [ A 1 ] ) 2 ) como  norte → ∞ .
dónde
X norte = norte ( ∑ i = 1 norte A i B i ∑ i = 1 norte A i − mi [ B 1 ] ) .
El teorema del límite central y la ley fuerte de los grandes números parecen ser útiles, pero de alguna manera no funcionan, ya que no puedo separar las dos partes de manera que pueda aplicar ambos teoremas a partes independientes y luego Usa el teorema de Slutsky.

¿Alguien puede ayudar?

puedes reemplazar B i con B i − mi B i , supongamos que tiene una media de 0. Entonces el CLT se aplica a los iidrvs A i B i , que tienen varianza V a r ( B ) mi ( A 2 ) , entonces aparentemente tienes una simple cita de slutsky en el sentido de A 1 + . . . + A norte norte converge

Respuestas (1)

Creo que puedes reorganizar la expresión de X norte multiplicando y dividiendo por ( norte ) Llegar

X norte = norte ∑ k = 1 norte A k ⋅ ∑ k = 1 norte A k ( B k − mi [ B k ] ) norte

Observe que puede aplicar el CLT a ∑ k = 1 norte A k ( B k − mi [ B k ] ) norte donde esta tu secuencia ( A k ( B k − mi [ B k ] ) ) k y cada término en esta secuencia tiene media cero.

Por la Ley de los Grandes Números ∑ k = 1 norte A k norte → mi [ A 1 ] como, por lo tanto, convergen en probabilidad. Ahora si mi [ A k ] > 0 puedes aplicar Slutsky.

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