¿Las funciones de masa de probabilidad no tienen que sumar 1?

Estaba pensando en la variable aleatoria discreta que describe el tiempo de parada ( T : variable aleatoria que modela el número de lanzamiento en el que alcanza su objetivo por primera vez) de un jugador adinerado que alcanza su objetivo. Se analiza con cierto detalle aquí: Jugador con fondos infinitos que alcanzan su objetivo y aquí: Probabilidad de que la caminata aleatoria alcance el estado k por primera vez en el paso norte . Me di cuenta de que cuando la moneda está sesgada en contra del jugador adinerado, existe una probabilidad finita de que nunca alcance su objetivo. Entonces, si calculas la suma:

∑ t = 0 ∞ PAG ( T = t )

solo obtendrás 1 si la moneda que está usando tiene una probabilidad, pag ≥ 1 2 de cabezas De lo contrario, la suma anterior dará como resultado un número menor que 1 . Mirando la definición en Wikipedia , en ninguna parte dice que la función de masa de probabilidad debe sumar 1 (énfasis: en la definición formal). Sin embargo, justo fuera del alcance de la definición formal, lo hace.

Pero esto implicaría que los jugadores ricos detendrían el tiempo cuando pag < 1 2 no tiene PMF?

Solo quería conocer la opinión de la comunidad al respecto.

Además, si concluimos que el PMF no tiene que sumar 1 , ¿existe entonces algún ejemplo de una función de densidad de probabilidad correspondiente que no se integre para 1 ? ¿Quizás el tiempo de parada (definido como alcanzar un límite positivo) de una caminata aleatoria de tiempo continuo con deriva negativa?

EDITAR: decir que "nunca alcanzar el objetivo está incluido en los posibles resultados" no es satisfactorio. Estamos hablando de la variable aleatoria. T . Esta variable aleatoria tiene cierto dominio (que incluye ∞ ). Sumar sobre el dominio debería darte 1 . ¿En qué parte de su dominio deberíamos encajar "nunca alcanzando el objetivo"? El problema fundamental permanece, es PAG ( T = t ) el PMF de T ¿O no? Si decimos que no es porque no suma 1 sobre todos los valores posibles de T , entonces significa T no tiene un PMF?

Quiero decir, dice que debe sumar a 1 en el artículo wiki que vinculaste
Lo siento, se me pasó la figura de la derecha. Entonces, esto significa que el tiempo de parada del jugador rico se convierte en un PMF para pag gramo mi q 1 2 pero deja de serlo de otra manera? Esa es una conclusión extraña.
Editado la pregunta. No dijo que la suma debería ser 1 en las definiciones formales.
Decir que el dominio contiene un número entero arbitrariamente grande no es lo mismo que decir que contiene ∞ ...
Soy tu oponente infinitamente rico. Decidimos jugar el juego de caminata aleatoria simple sesgado, que termina cuando alcanza el objetivo j , donde ganas, o cuando golpea 0 donde gano. Dado el último caso, ¿qué valor tiene T j ¿llevar? ¿Puedes calcular la probabilidad de este evento? Piense en esto y la respuesta de David K ​​debería ser más satisfactoria (ya que es correcta).
Para estar seguro: todos los PMF suman 1 y todas las densidades se integran para 1 por su misma definición. Si tiene un PMF candidato que aparentemente no suma la unidad, es probable que haya calculado mal una probabilidad o, lo que es peor, no haya sumado todos los eventos posibles en el espacio muestral. Estoy insinuando lo último aquí con mi comentario anterior... "nunca alcanzar el objetivo" es sin duda un evento en el espacio muestral. ¿Puedes escribir este evento y calcular la probabilidad?

Respuestas (2)

Si es posible no alcanzar el objetivo, entonces "nunca alcanzar el objetivo" se incluye en el conjunto de posibles resultados y su probabilidad es uno de los valores del PMF. Cuando sumas todos los valores del PMF, esta probabilidad se incluye y la suma es 1.

Lo que está llamando el "dominio" es en realidad el co-dominio de T . el dominio de T es cualquier espacio muestral Ω Tu estas usando.

que hace T una variable aleatoria es que es una función que toma los elementos del espacio muestral Ω y los asigna a los resultados. La probabilidad de un resultado es la medida del subconjunto del espacio muestral cuyos elementos corresponden a ese resultado, y la medida del espacio muestral completo es 1.

Considere lo que significa si suma las probabilidades de todos los resultados posibles producidos por T y la suma no es 1. Eso implica que hay una parte del espacio muestral (de hecho, una parte del espacio muestral con medida positiva) que T no se asigna a ningún resultado. En ese caso, no solo no tiene un PMF que sume menos de 1 ; no solo lo hace T no tener un PMF; T ni siquiera es una variable aleatoria, porque no cumple con los requisitos necesarios para ser una función sobre el espacio muestral.

Entonces, si existe una posibilidad positiva de que el jugador nunca alcance la meta, y desea tener una variable aleatoria que devuelva norte si y solo si la meta se alcanza en el tiempo norte , entonces tu variable aleatoria T debe devolver algo en el caso de que no se alcance la meta. Puedes llamar a ese resultado como quieras, pero tienes que incluirlo en el rango de T .

Si realmente no quiere hacer eso, una alternativa es definir una variable aleatoria diferente que devuelva el momento en que se alcanza la meta, condicionada al evento de que se alcance la meta. Como condicionó esa variable al objetivo que se está alcanzando, solo necesita tomar valores que sean números enteros finitos (ya que esos son los posibles tiempos de parada). Sin embargo, sigue siendo cierto que si define correctamente esta variable aleatoria condicional, la suma de las probabilidades de sus resultados será 1.

pero si sumas PAG ( T ) sobre todos sus posibles valores de T , no suma 1 .
T es una variable aleatoria. Tiene un cierto dominio. ¿En qué parte del dominio deberíamos incluir "nunca alcanzar el objetivo"?
Por lo general, para (casi con seguridad) tiempos de parada finitos, su dominio es [ 0 , ∞ ) . Para variables aleatorias como la de aquí, simplemente incluimos ∞ entonces el dominio es [ 0 , ∞ ] . Entonces T = ∞ corresponde a nunca suceder y obtiene una masa distinta de cero.
Esta respuesta en realidad hizo la pregunta más clara.

digamos que s = ∑ t = 0 ∞ PAG ( T = t ) ≠ 1 (que es, como usted dice, el caso cuando pag < 1 2 y es posible que nunca se alcance el objetivo). En este caso, cuando hablamos de la probabilidad de que T = t , (en otras palabras, la probabilidad de que se alcance el objetivo en t juegos), asumimos implícitamente que el objetivo se alcanza realmente . Como la probabilidad de que sea s , la probabilidad de que se alcance el objetivo en t juegos, dado que se alcanza el objetivo , es 1 s PAG ( T = t ) , que, por supuesto, suma 1 como t recorre su dominio.

En mi comentario, mencioné que decir que un entero arbitrariamente grande está en el dominio de una función no es lo mismo que decir que ∞ está en el dominio. Darse cuenta de ∞ no está en el dominio de la PAG en tu publicación si definimos t = ∞ para significar que el objetivo nunca se alcanza, y luego definir el dominio de una función de masa PAG ′ ser Z ≥ 0 ⋃ { ∞ } , y PAG ′ ser:

PAG ′ ( T = t ) = { PAG ( T = t ) , t ∈ Z ≥ 0 1 − s , t = ∞

dónde PAG ( T = t ) es la función en su publicación y s es como lo he definido arriba, entonces esta función de masa PAG ′ suma 1.

Puede encontrar interesantes algunas de mis luchas con las probabilidades que no suman 1 en un problema relacionado en este hilo .

¿Las funciones de masa de probabilidad no tienen que sumar 1?
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