¿Por qué un dipolo debe tener carga neta cero?

El concepto de momento dipolar , y otros momentos como monopolo, cuadrupolo, etc., proviene del proceso de escribir un campo como una suma de componentes llamados multipolos . Esto se conoce como expansión multipolar del campo. La razón por la que hacemos esto es que puede hacer que los cálculos sean más rápidos y fáciles porque nos permite aproximar un campo complicado mediante una suma más simple de multipolos.

Una sola carga puntual aislada produce un campo que es un campo monopolar puro, y dos cargas iguales y opuestas producen un campo que es aproximadamente un campo dipolar (es exactamente un dipolo solo en el límite de la distancia entre las cargas que se vuelve cero). Entonces, si agrega una sola carga a un par de cargas iguales y opuestas, obtiene un campo total que es una suma de campos monopolares y dipolares.

Y esto es lo que sucede en el ejemplo que das. Supongamos que tenemos dos cargas$+2Q$y$-Q$, entonces esto es equivalente a una sola carga$+Q$y un par de cargas$+\tfrac32 Q$y$-\tfrac32Q$. El campo de las cargas sería la suma vectorial de un campo monopolar de la$+Q$carga y un campo dipolar de la$\pm\tfrac32Q$par.

Entonces, la razón por la que un dipolo no puede tener dos cargas desiguales es simplemente porque tal disposición sería la suma de un monopolo y un dipolo, y no solo un dipolo.

Si tenemos varias cargas distribuidas en el espacio, entonces el potencial total es

$$\phi = k\sum_{n = 1}^{N} \frac{q_{n}}{\left|\mathrm{r} - \mathrm{r}_{n}\right|}$$

Si las cargas se concentran en una región estrecha del espacio (estrecha en comparación con la distancia al observador y, si hay ondas EM, con la longitud de onda), entonces podemos expandir la fracción asignando linealmente$r_{n} = r_{0} + \Delta_{n}$:

$$\frac{1}{\left|\mathrm{r} - \mathrm{r}_{n}\right|} = \frac{1}{\sqrt{(\mathrm{r} - \mathrm{r}_{0} - \mathrm{\Delta}_{n})^2}} \approx \frac{1}{\sqrt{(\mathrm{r} - \mathrm{r}_0)^2 - 2 (\mathrm{r} - \mathrm{r}_0) \cdot \mathrm{\Delta}_{n}}} \approx \\ \frac{1}{\left|\mathrm{r} - \mathrm{r}_{0}\right|} \frac{1}{1 - \frac{(\mathrm{r} - \mathrm{r}_0) \cdot \mathrm{\Delta}_{n}}{(\mathrm{r} - \mathrm{r}_0)^2}} \approx \frac{1}{\left|\mathrm{r} - \mathrm{r}_{0}\right|} + \frac{1}{\left|\mathrm{r} - \mathrm{r}_{0}\right|^2}\frac{\left(\mathrm{r} - \mathrm{r}_{0}\right)}{\left|\mathrm{r} - \mathrm{r}_{0}\right|} \cdot \mathrm{\Delta}_{n}$$

Para la primera aproximación descuidé el término cuadrático de$\Delta$, para el segundo usé series de Taylor para la raíz cuadrada, para el tercero expandí la fracción en series de Taylor.

Sustituyendo en la ecuación del potencial, obtenemos

$$\phi \approx \frac{k}{\left|\mathrm{r} - \mathrm{r}_{0}\right|}\sum_{n = 1}^{N} q_{n} + \frac{k}{\left|\mathrm{r} - \mathrm{r}_{0}\right|^2}\frac{\left(\mathrm{r} - \mathrm{r}_{0}\right)}{\left|\mathrm{r} - \mathrm{r}_{0}\right|} \cdot \sum_{n = 1}^{N} q_{n} \mathrm{\Delta}_{n} = \frac{k Q }{\left|\mathrm{r} - \mathrm{r}_{0}\right|} + \frac{k}{\left|\mathrm{r} - \mathrm{r}_{0}\right|^2}\frac{\left(\mathrm{r} - \mathrm{r}_{0}\right)}{\left|\mathrm{r} - \mathrm{r}_{0}\right|} \cdot \mathrm{d}$$

Aquí$Q$es la carga total y$d$es el momento dipolar. Como puede ver, el primer término decae como$1/r$y el segundo como$1/r^2$. Si el primero está presente (es decir,$Q\ne0$) entonces el segundo término puede, por lo general, despreciarse cuando estamos lejos del sistema de cargas.