¿Cuáles son las ventajas de la expansión multipolar de potenciales?

Para mí, las principales ventajas de las expansiones multipolares son típicamente conceptuales, ya que ayudan a encapsular y separar los efectos de la forma de la distribución de carga y la posición de la carga de prueba en la interacción electrostática entre los dos.

Considere, por ejemplo, la interacción entre una carga de prueba en la posición$\mathbf r$y una distribución de carga$\rho(\mathbf r)$que está localizado dentro de una esfera de radio$R$alrededor del origen. El potencial electrostático para tal situación viene dado, en general, por la integral del núcleo de Coulomb sobre la nube de carga,

$$V(\mathbf r)=\int_\Omega\frac{\rho(\mathbf r')\mathrm d\mathbf r'}{|\mathbf r-\mathbf r'|}. \tag 1$$ Este es un objeto un poco grande y desordenado, porque requiere que lleves a cabo una integral numérica tridimensional larga y complicada cada vez que quieras saber el valor de $V(\mathbf r)$.

Entonces, ¿cómo ayuda una expansión multipolar? Voy a omitir todos los detalles de cómo lo obtenemos, pero es un resultado bastante estándar que cuando$r>R$puede expresar el potencial en$(1)$como

$$V(\mathbf r) =\int_\Omega\frac{\rho(\mathbf r')\mathrm d\mathbf r'}{|\mathbf r-\mathbf r'|} =\sum_{l=0}^\infty\sum_{m=-l}^l Q_{lm}\frac{Y_{lm}(\theta,\varphi)}{r^l} \tag 2$$ dónde $$Q_{lm}=\frac{4\pi}{2l+1}\int Y_{lm}^*(\theta',\varphi')r'^l\rho(\mathbf r')\mathrm d\mathbf r' \tag 3$$ son los momentos multipolares del sistema. A primera vista, esto parece tan feo como antes, y solo cambié la integral desordenada por una serie desordenada, que aún tendré que sumar numéricamente cada vez que quiera calcular $V(\mathbf r)$.

El punto aquí es que en series multipolares como$(2)$, por lo general, solo unos pocos términos contribuyen significativamente, y esto significa que solo necesito calcular algunos de los momentos multipolares. ¡Esto es importante! Significa que puedo precalcular solo algunas de las integrales numéricas tridimensionales completas en$(3)$, y todavía tienen una excelente comprensión del potencial.

El punto de precálculo es el importante. He logrado aislar las pocas cantidades de la distribución de carga - los momentos multipolares$Q_{lm}$- que controlan el peso de los diferentes componentes multipolares del campo, y después de eso, todo lo que necesito hacer es calcular algunos potenciales (que son tanto numérica como conceptualmente simples) y superponerlos para obtener la interacción completa.

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Además de necesitar calcular menos integrales, estas integrales también tienden a ser más simples y más benignas numéricamente, y esto se relaciona con la preocupación expresada por Piela en el libro al que se vincula. En particular, las integrales en$(1)$a menudo involucran muchos términos que casi se cancelan, lo que significa que necesita una precisión muy alta en ambos$a$y$b$para obtener sólo una precisión mediocre en$a-b$.

Para fundamentar esto en un ejemplo, considere dos cargas$\pm q$sobre el$z$eje en$\pm \delta=1\:\mathrm{mm}$, y su interacción con una partícula de prueba en el mismo eje en$z=1\:\mathrm{km}$. Si desea calcular el potencial electrostático allí, el equivalente de la integral en$(1)$es simplemente agregar las dos contribuciones directamente:

$$\begin{align} V &=\frac{q}{z+\delta}-\frac{q}{z-\delta} =\frac{q}{1000.001\:\mathrm m}-\frac{q}{999.999\:\mathrm m} \\&=\frac{q}{\mathrm{m}}\left(0.00099999900000999\cdots-0.00100000100000100\cdots\right) \\&\approx -2\times 10^{-9}\frac{q}{\mathrm{m}} \end{align}$$ Esto significa en particular que necesito los nueve decimales en cada uno de los potenciales individuales (cinco cifras significativas) para obtener una sola cifra significativa de precisión en el resultado. Si esta es la única forma de hacer las cosas, entonces se trata principalmente de una situación de fruncir el ceño y soportarlo, pero si quiero calcular el potencial en un montón de posiciones diferentes, entonces habrá mucho ceño fruncido, especialmente si en lugar de sumas simples, necesito hacer integrales numéricas de alta precisión todo el tiempo, para obtener solo un par de cifras significativas en mi potencial.

Por el contrario, si primero calculo el momento dipolar del sistema y uso el campo dipolar, sé que

$$Q_{q,z}=q\delta-q(-\delta)=2q\delta=2q\times 1\:\mathrm{mm},$$ entonces obtengo la misma cifra significativa única de precisión para $V$mientras se utiliza sólo una única cifra significativa de precisión para $z$y $\delta$. Este tipo de ojo por ojo numérico, en el que el nivel de precisión deseado en el resultado coincide con el nivel de precisión requerido en el cálculo, es el sello distintivo de un esquema numérico deseable. Como beneficio adicional, sé que el siguiente término en la serie multipolar es del orden de $\delta/z\approx 10^{-6}$con respecto al término dipolo, por lo que si desea un resultado más preciso que para las primeras cinco cifras significativas, debe concentrarse en el término dipolo, y solo después de eso debe incluir términos de orden superior.

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Esto me lleva a una ventaja conceptual separada de las expansiones multipolares, y es la separación de escalas que está presente en$(2)$: cada término hacia arriba en la escala de la escalera como una potencia superior de$1/r$que su predecesor; además, el inferior-$l$términos tienden a tener una estructura angular muy 'borrosa', y es solo en$l$que entra el detalle angular. Esta es la forma de precisar la observación de que, desde lejos, un sistema cargado es prácticamente indistinguible de una sola bola de carga, y que los detalles de la distribución de carga solo se vuelven importantes a medida que acercarse.

Esto establece una jerarquía de aproximaciones que es muy importante en términos de cómo conceptualizamos y aplicamos la electrodinámica en una amplia gama de contextos, desde la electrodinámica en medios continuos hasta la interacción de átomos y moléculas con radiación, la descripción de fuerzas intermoleculares y la óptica de enfoque. de microscopios electrónicos y aceleradores a una gran cantidad de otros entornos. En todos estos escenarios, la separación de las interacciones electromagnéticas en diferentes órdenes multipolares aporta claridad conceptual a la importancia relativa de las diferentes partes de la interacción, y ese es su principal valor.

Como ejemplo, usaré principalmente electrostática con su ecuación de Poisson$\Delta \phi=\rho$(también, constantes omitidas). Esto es fácilmente escalable a magnetismo estacionario ($\Delta \vec{A}=\vec{j}$) o gravedad ($\Delta \Phi = 4 \pi \rho_{\rm matter}$).

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Los potenciales multipolares a menudo surgen "sin ningún esfuerzo" al tratar de resolver ecuaciones de campo de vacío (sin fuente) mediante el método de separación de variables . Como tales, representan una familia infinita de " armónicos " que pueden caracterizar completamente cualquier campo de vacío.

Sin embargo, un detalle importante es que estos armónicos no carecen por completo de fuente, por lo general tienen singularidades en las que se encuentran densidades infinitas de carga (o un tipo de fuente análoga).

Por ejemplo los armónicos esféricos, que se obtienen por separación de la ecuación de Laplace en coordenadas radiales, tienen el primer "armónico monopolar"$\phi_{\rm m}\sim Q/r$. Este armónico tiene$\Delta \phi_{\rm m}=0$en todas partes excepto$r=0$donde realmente no sabemos lo que está pasando porque el potencial diverge. Un análisis más sofisticado nos da que$\Delta \phi_{\rm m}\sim Q\delta$, dónde$\delta$es la función delta de Dirac con pico infinito .

el dipolo $\sim 1/r^2$El campo correspondería entonces a dos picos en dirección opuesta uno al lado del otro (o dos cargas puntuales de signo opuesto uno al lado del otro) que se caracteriza por la "derivada de Dirac-delta"$\delta'$. Es posible encontrar una caracterización similar en términos de fuentes "delgadas" o "puntuales" para cada potencial multipolar. Es decir, los multipolos de hecho corresponden a fuentes infinitamente empaquetadas idealizadas, en el caso de multipolos esféricos alrededor de$r=0$.

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Pero ahora considere lo siguiente: dado que cualquier campo de vacío se caracteriza por armónicos, al comprender los armónicos, automáticamente comprende el comportamiento típico del campo. Si colocamos el origen en algún lugar en el medio de la nube de carga y solo estudiamos el campo fuera de ella, sabremos que el campo exterior está representado por una serie de funciones proporcionales a$1/r^n$. Si estamos muy lejos de la nube ($r$muy grande), un$\sim 1/r^{10}$término es muy probablemente bastante insignificante con respecto a la principal$\sim 1/r$término. Esto significa que podemos aproximarnos bastante bien al campo exterior incluyendo solo unos pocos primeros multipolos.

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Pero, ¿cómo calculamos los coeficientes de los multipolos? Con el orden creciente del multipolo, esto podría volverse cada vez más difícil, así que por ahora consideremos los dos primeros.

El coeficiente de orden principal correspondiente al monopolo$\sim 1/r$es solo la cantidad total de carga en la nube. Si, por ejemplo, la cantidad total de carga en la nube es cero (como en el caso de un átomo o molécula neutra), siempre sabrá que el campo lejos de la nube se reducirá al menos como$1/r^2$.

Para calcular el dipolar$\sim 1/r^2$coeficiente, primero se necesita calcular el vector dipolar

$$\vec{d} = \sum q_i \vec{r}_i$$ dónde $q_i$son cargos de fuentes individuales en la nube y $\vec{r}_i$sus posiciones El coeficiente del dipolo es entonces proporcional a $\vec{d}\cdot \vec{r}$, dónde $\vec{r}$es el punto en el que estamos evaluando el potencial. Es decir, si tienes una nube de 1000 cargas con carga total cero, basta con ejecutar esta suma y obtienes una aproximación fiel del potencial electrostático lejos de la nube. Esto puede resultar muy útil.

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En cuanto a la utilidad citada en Ideas de química cuántica , la cuestión es que si representamos números en un ordenador con una cantidad finita de dígitos, la resta de números cercanos reduce el número de dígitos significativos. Considere, por ejemplo, una representación de 5 dígitos. Ahí se podría decir que por ejemplo$1.0000$de hecho representa todo el número de$0.99995$a$1.000049999...$, es decir, cuando la computadora te da$1.0000$es de hecho$1.0000 \pm 0.00005$. Ahora considere la resta

$$1.0001-1.0000 = 0.0001$$ debemos agregar barras de error $$1.0001\pm 0.00005-1.0000\pm 0.00005 = 0.0001\pm 0.0001$$ Es decir, el error relativo del resultado es del 100%!!!

Debido a esto, a menudo puede ser útil evitar la evaluación directa de las restas de números cercanos mediante el uso de varias aproximaciones. Uno de ellos es usar un potencial dipolar para el potencial de cargas muy cercanas e iguales.