Cuadrupolo puntual aproximado como cargas puntuales

La situación con los momentos cuadripolares es un poco más compleja que con el modelo de carga puntual de un dipolo puntual porque cuando dices "momento cuadripolar" en realidad te refieres a una matriz en lugar de un vector, por lo que hay más grados de libertad y, por lo tanto, más posibilidades del modelo.

En general, los momentos multipolares son tensores y vienen en dos variedades (equivalentes), cartesianas y esféricas. La forma más cómoda de describirlos es usando la descripción esférica, que te da cinco componentes independientes diferentes,$Q_{2,m}$con$m=-2,-1,0,1,2$, dada por

$$\begin{align} Q_{2,0} & = \int (x^2+y^2-2z^2)\rho(\mathbf r)\mathrm d\mathbf r \\ Q_{2,\pm 1} & = \int (x\pm i y)z \, \rho(\mathbf r)\mathrm d\mathbf r \\ Q_{2,\pm 2} & = \int (x\pm i y)^2\rho(\mathbf r)\mathrm d\mathbf r. \end{align}$$ En términos de visualización, a menudo es normal cambiar los momentos de valor complejo por las combinaciones equivalentes. $$\begin{align} Q_{2,xz} & = \int xz \, \rho(\mathbf r)\mathrm d\mathbf r \\ Q_{2,yz} & = \int yz \, \rho(\mathbf r)\mathrm d\mathbf r \\ Q_{2,xy} & = \int xy \, \rho(\mathbf r)\mathrm d\mathbf r \\ Q_{2,x^2-y^2} & = \int (x^2-y^2) \rho(\mathbf r)\mathrm d\mathbf r . \end{align}$$

Estos se pueden modelar mediante combinaciones adecuadas de cargas puntuales de la siguiente manera:

• $Q_{2,xz}$es producido por dos cargas puntuales$+q$en$(\pm d,0,\pm d)$y dos cargas puntuales opuestas$-q$en$(\pm d,0,\mp d)$, respectivamente;
• $Q_{2,yz}$es producido por dos cargas puntuales$+q$en$(0,\pm d,\pm d)$y dos cargas puntuales opuestas$-q$en$(0,\pm d,\mp d)$, respectivamente;
• $Q_{2,xy}$es producido por dos cargas puntuales$+q$en$(\pm d,\pm d,0)$y dos cargas puntuales opuestas$-q$en$(\pm d,0,\mp d)$, respectivamente;
• $Q_{2,x^2-y^2}$es producido por dos cargas puntuales$+q$en$(\pm d,0,0)$y dos cargas puntuales opuestas$-q$en$(0,\pm d,0)$, respectivamente; y finalmente

• $Q_{2,0}$es producido por dos cargas puntuales$+q$en$(0,0,\pm d)$y una carga puntual$-2q$Al origen.

  

En todos los casos, se obtiene el cuadrupolo puntual tomando el límite de$d\to0$mientras hace el cargo$q\to\infty$manteniendo$qd^2$constante.

Dado cualquier momento cuadripolar, puede encontrar el cuadrupolo puntual correspondiente eligiendo una combinación lineal adecuada de los cinco campos descritos anteriormente. Sin embargo, esta es una declaración un poco engañosa, porque este esquema le pide que coloque un montón de cargos (hasta 19) y este no es un número mínimo. Para obtener ese número mínimo, debe usar la forma cartesiana del tensor, que tiene componentes

$$\begin{align} Q_{ij} & = \int (x_ix_j -\frac13 \delta_{ij}r^2)\rho(\mathbf r)\mathrm d\mathbf r, \end{align}$$ y que describe un tensor de rango dos, simétrico y sin trazas (también conocido como matriz). Lo bueno de esta formulación es que todas esas matrices se pueden diagonalizar, de modo que existe un marco de referencia donde solo el $Q_{ii}$son distintos de cero. Esto significa, a su vez, que siempre existirá un modelo de carga puntual de la siguiente forma:

• Cargas de dos puntos$q_1$en$\pm d \hat{\mathbf e}_1$, para algún vector unitario$\hat{\mathbf e}_1$, dos cargas puntuales$q_2$en$\pm d \hat{\mathbf e}_2$, para algún vector unitario$\hat{\mathbf e}_2$ortogonal a$\hat{\mathbf e}_1$, dos cargas puntuales$q_3$en$\pm d \hat{\mathbf e}_3$, para algún vector unitario$\hat{\mathbf e}_3$ortogonal a ambos$\hat{\mathbf e}_1$y$\hat{\mathbf e}_2$, y una carga puntual$-2(q_1+q_2+q_3)$Al origen.

Este enfoque de modelo de carga puntual se puede extender a momentos multipolares más altos , pero rápidamente se vuelve engorroso; en cambio, normalmente recomiendo visualizar multipolos puntuales (¡comenzando con dipolos puntuales!) como una distribución de carga superficial en una esfera dada por el armónico esférico correspondiente; para ver esto en acción dos niveles más arriba, ¿ver el potencial de hexadecapolo usando partículas puntuales? .