El mismo Euclides ya lo trata con guantes, tiene una formulación inusualmente precisa, y no se usa en las primeras 28 proposiciones de los Elementos. ¿Por qué? ¿Lo dudaba? No es que Euclides fuera un formalista, en la primera prueba de la proposición I.1 (construcción del triángulo equilátero), concluye libremente del diagrama que dos círculos con puntos interiores comunes se intersecan en dos puntos. Esto se llama axioma círculo-círculo.por Greenberg y no es un postulado. ¿Por qué la intersección de dos círculos es "evidente", pero (efectivamente) la intersección de dos líneas convergentes no lo es? Euclides tampoco complica el primer postulado al estipular la unicidad de una línea a través de dos puntos, aunque está claro por sus demostraciones que lo asume. El segundo postulado también es más débil de lo que realmente usa Euclides.
En cambio, con las paralelas Euclides es muy pedante, como si quisiera llamar la atención sobre ellas: “ Si un segmento de recta corta dos rectas formando dos ángulos interiores del mismo lado que suman menos de dos ángulos rectos, entonces las dos rectas, si se prolongan indefinidamente, se encuentran en el lado en que los ángulos suman menos de dos ángulos rectos ” .
Algunos libros de texto culpan de otros casos a los "defectos" y "lagunas" de Euclides, pero aparentemente se trata de una modernización basada en la lectura de Pasch y Hilbert en Euclides. El método de Euclides no era axiomático, era sintético. En otras palabras, cuando da una construcción geométrica, acepta conclusiones no deductivas "del diagrama", siempre que las conclusiones se deriven de cualquier diagrama posible compatible con la construcción. ¿Los postulados enumerados fueron los más utilizados y/o quizás los más "sutiles"? En principio, no había necesidad de enumerar el postulado paralelo en absoluto, como Euclides no enumeró el círculo-círculo o la unicidad de la línea.
Incluso si Euclides quisiera enumerar algo sobre paralelos, podría optar por I.30 en su lugar, dos líneas paralelas a una tercera son paralelas entre sí. Mucho más simple. La contraposición a esto (dos líneas que se cruzan no pueden ser ambas paralelas a una tercera) ahora es bien conocida y se usa como "axioma de Playfair". Incluso suponiendo que Euclides no supiera que era equivalente, Ptolomeo lo mostró explícitamente más tarde, según Proclo, pero eso no se consideró satisfactorio.
Los intentos de prueba continuaron durante más de mil años. ¿Qué prueba buscaban los geómetras? Seguramente no deducir el quinto postulado "de los otros cuatro", ya que no se puede deducir mucho de los otros cuatro, o de los cinco, ni siquiera I.1. En cuanto a las pruebas sintéticas que se basan en afirmaciones "más evidentes", aparentemente se ofrecieron comenzando con Arquímedes , pero nunca se aceptaron. ¿Por qué?
Las razones son "simples". Todos los demás axiomas y postulados apelan a nuestra "experiencia cotidiana", al menos en principio. Las líneas rectas corresponden a los rayos de luz en la experiencia cotidiana. Sin embargo, probablemente Euclides ya reconoció que el postulado de las paralelas es diferente de los otros axiomas. Por supuesto, se requiere un grado de sofisticación matemática para entender esto. Pero probablemente Euclides ya entendió esto. Incluso cuando se expresa con precisión, el postulado V parece mucho más complicado que los otros axiomas y postulados.
¿Cómo lo verificaría experimentalmente? El postulado mismo dice que a través de todo punto A que no esté en la línea L se puede trazar sólo una línea paralela a L. ¿Cómo propondría comprobar esto experimentalmente? Claramente hay muchas líneas a través de A que se cruzan con L tan lejos que no puedes ver esto. Para que no se crucen dentro de su campo de visión.
O se puede intentar verificar alguna de sus consecuencias. Una de las consecuencias más simples es que la suma de los ángulos de un triángulo es igual a dos ángulos rectos. ¿Cómo puedes verificar que esto se cumple en la vida real? Ninguna medida, no importa cuán precisa sea, le mostrará esto.
Gauss y Lobachevski, quienes reconocieron que el postulado no se sigue del resto de los axiomas, sí discuten su posible verificación experimental. Uno tiene que medir los ángulos de un triángulo muy grande para hacer esto. Y cualquier resultado que obtengas tendrá algún error en la medida, y deja la posibilidad de que si tomas un triángulo más grande, verás que la suma no es igual a dos ángulos rectos.
EDITAR. Para obtener una mejor comprensión intuitiva de lo que significan los axiomas, imagina que vives en un mundo en el que uno de los axiomas no se cumple y explora cuán diferente se ve esta palabra. Por ejemplo, suponga que dos rayos de luz pueden intersecarse en dos puntos. Esto significa que, bajo ciertas condiciones, verá el mismo objeto como dos objetos. Nuestra experiencia cotidiana muestra que este no es el caso en nuestro mundo.
Ahora imagina un mundo donde el postulado de las paralelas no se cumple. ¿Verás algo peculiar en tu vida cotidiana? La respuesta es no". Todo se verá más o menos igual. Hasta que empieces a medir los ángulos de triángulos grandes. Pero en realidad no tenemos experiencia cotidiana con la medición de ángulos de triángulos grandes.
Mauro ALLEGRANZA
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