¿Por qué los antiguos griegos se interesaron originalmente en las secciones cónicas?

La verdad es que no lo sabemos. Sí sabemos de la persona a la que se le atribuye el descubrimiento, Menaechmus (c. 350 a. C.), alumno de Eudoxo de Cnido y amigo de Platón, uno de los matemáticos más destacados de su época. Sin embargo, Apolonio de Perge les dio los nombres de elipse, parábola e hipérbola más de un siglo después. Menaechmus los llamó literalmente sección aguda, sección recta y sección obtusa porque se pueden obtener seccionando conos con los ángulos de vértice correspondientes perpendicularmente al generador. Otros también las llamaron tríadas de Menaechmian.

La respuesta tradicional es que la razón fue el problema de Delos, el más famoso de los "tres problemas de construcción de la antigüedad". El oráculo de Delfos supuestamente les dijo a los ciudadanos de Delos que duplicaran el tamaño de un altar en forma de cubo para detener una plaga, y cuando doblaron los lados y no pasó nada, especificó que era el volumen lo que se debía duplicar. Se puede confirmar la parte sobre la peste en Grecia en el momento adecuado, así como la costumbre griega de consultar el oráculo de Delfos. El resto no está ni aquí ni allá.

Tomando el lado del cubo original como una unidad, la duplicación del cubo se reduce en notación algebraica moderna a resolver$x^3=2$. Los griegos no tenían notación algebraica y su método favorito para resolver problemas geométricos era usar regla y compás. Como sabemos hoy en día tal$x$no se puede construir con esas herramientas. Hipócrates de Chios notó sin embargo que uno podría encontrar tal$x$resolviendo la doble proporcion$1:x=x:y=y:2$, o como dicen los griegos, "insertar dos medias proporcionales" entre$1$y$2$.

Es una manipulación trivial hoy en día ver que la proporción de Hipócrates es equivalente a un par de ecuaciones$x^2=y$y$y^2=2x$, que describe dos parábolas, o$x^2=y$y$xy=2$, que describe la parábola y la hipérbola. Si se pueden construir, el punto de intersección dará la solución al problema de Delian. La tarea de Menaechmus fue considerablemente más difícil. No podía manipular fórmulas de coordenadas, los griegos solo tenían un prototipo tosco de ellos llamado "síntomas", ni presumiblemente sabía de curvas con tales síntomas antes de tiempo. Así que tuvo que aplicar ingeniería inversa a los síntomas a partir de la proporción de Hipócrates, y luego tener la idea de que se pueden obtener curvas con exactamente estos síntomas mediante la sección de conos.

Si esto parece difícil de creer, lo es. Es posible que Menaechmus obtuviera algunas pistas de soluciones mecánicas anteriores al problema de Delian por parte de su maestro Eudoxus y del maestro de su maestro Arquitas de Tarento. También es posible que experimentara con secciones del cono por otras razones, las elipses aparecen implícitamente en los modelos astronómicos homocéntricos de Eudoxo, por ejemplo, y notó que tienen las propiedades necesarias para resolver el problema de Delian. Ver A New Role for the Hippopede of Eudoxus de Yavetz y Eudoxan Mathematics and the Eudoxan Spheres de Riddel para detalles geométricos de tales especulaciones.

Esta pregunta se ha discutido varias veces sobre el desbordamiento matemático: https://mathoverflow.net/questions/191909/discovery-and-study-of-conic-sections-in-ancient-greece

También tiene referencias.

Una teoría es que aparecieron cuando los griegos comenzaron a pensar en cómo hacer un reloj de sol preciso. Esta teoría se desarrolla en varios libros y artículos sobre el tema, y ​​la respuesta de mayor puntuación en la pregunta de MO que cito anteriormente es sobre esta teoría. Sin embargo, en mi opinión, compartida por algunos historiadores de las matemáticas, esta teoría no está suficientemente justificada.

Una teoría más plausible es que se descubrieron al intentar duplicar el cubo.

Que las secciones cónicas se olvidaron con el declive de las matemáticas helenísticas es correcto. Pero esto se aplica también a las otras grandes obras de esa época (Arquímedes). A esto siguió un colapso total de la ciencia, y durante aproximadamente un milenio simplemente no hubo personas que pudieran entender a Apolonio o Arquímedes. Luego, Kepler descubrió que los planetas se mueven en secciones cónicas y, un poco más tarde, Pascal demostró los primeros teoremas nuevos sobre ellos.

Lamento discrepar con la respuesta de Conifold y decir que en este caso la verdad es más probable, que sabemos por qué, razonablemente bien. Existen al menos dos fuertes razones prácticas para estudiar las cónicas, además del interés matemático per se, tanto desde la física, precisamente desde la óptica como desde la acústica.

Sí sabemos que el famoso Faro de Alejandría tenía un proyector parabólico, que era visible a una distancia de casi 50 km , según Iosephus. Conocer las propiedades focales de la parábola, descubierta por los geómetras griegos, es necesario para construir un dispositivo tecnológico tan avanzado, que fue tan admirable como para ser denominado "la séptima maravilla del mundo".

Sabemos que los teatros fueron extremadamente importantes en la cultura y la vida social del mundo griego, y sabemos que fueron cuidadosamente proyectados y construidos, en particular, para que la voz de los actores fuera claramente audible por el (a menudo más de 10.000) espectadores. Una vez más, el conocimiento de las propiedades focales de las cónicas, que sabemos que conocían, es obligatorio para este objetivo. El efecto acústico todavía se puede observar en los teatros griegos restantes, donde se pueden medir las formas cónicas y la ubicación del foco.

Para un relato detallado de la ciencia helenística recomiendo a Lucio Russo The Forgotten Revolution .