¿Cuál es la historia de la quintisección de ángulos (división en cinco partes iguales)?

No tiene mucha historia, me temo. Parece que los métodos de trisección obviamente (para quienes los consideraron) también se aplicaban a la quintisección, por lo que el problema tenía poco interés teórico en sí mismo.

Sin restricción de herramientas, el problema de la multisección de ángulo es fácilmente solucionable. Por ejemplo, la quadratrix de Dinostratus, originalmente la trisectriz de Hippias (c. 420 a. C.), se puede usar para dividir cualquier ángulo en cualquier número de partes (y cuadrar el círculo para empezar, como descubrió Dinostratus), aunque originalmente fue destinado a trisecar. La espiral de Arquímedes (inventada por su amigo Conon) también se puede usar para los mismos propósitos, lo que habría sido obvio para Arquímedes, si no para Hipias, aunque también solo habla de la trisección. Euclides en Elementos, por supuesto, describe una construcción de pentágono regular con regla y compás, que es un caso de quintisección para un ángulo especial. En una discusión en el NCTM Math Forumse menciona otro caso antiguo de quintisección:

" Parece que en Cydonia tal quintisección se REALIZA por una razón muy específica (que por ahora no puedo revelar o el Dr. Lahoz me haría daño): pero el entorno SUGIERE una construcción muy SIMPLE (???) que hasta ahora escapa a nuestro análisis: supongo que puede estar relacionado con la trisección de Arquímedes " .

Cydonia o Kydonia fue una antigua ciudad-estado en la costa noroeste de la isla de Creta, que duró desde el período arcaico hasta el bizantino, y es un sitio de excavaciones arqueológicas modernas. No pude confirmar o encontrar detalles sobre esta mención. Ángel García sugirió cómo se podría realizar la quintisección al estilo de Arquímedes con una regla marcada (y evitando torres de campos, etc.), véase también Trisección y pentasección de segmentos de recta y ángulos , pero no tenemos fuentes antiguas que describan tal construcción. .

En los tiempos modernos, la quintisección se consideró al menos ya en Viète (1540 - 1603) y Bürgi (1552 - 1632) , Briggs la utilizó para construir sus tablas trigonométricas. El Tratado de secciones angulares de Wallis (1648, publicado en 1685) también analiza explícitamente la "quinquisección". Aquí está la Reconstrucción de las Tablas de Briggs de Roegel y Trigonometria Britannica de Gellibrand (1633) :

Después de haber considerado la triplicación y la quintuplicación, Briggs consideró nuevamente las ecuaciones, pero ahora para dividir un arco en$3$(capítulo 4 [11, págs. 5–10]),$5$(capítulo 6 [11, págs. 12–18]), y$7$(capítulo 7 [11, págs. 19–20]) partes. Por ejemplo, si p es la cuerda de un ángulo a, hemos visto que la cuerda de 3a es$c(3a) = 3p-p^3$, y la trisección de un ángulo equivale a resolver una ecuación cúbica [13, p. 461]. Para una división por$5$, la ecuación es$c(5a) = 5p -5p^3 + p^5$. Entonces nosotros tenemos$c(7a) = 7p - 14p^3 + 7p^5 - p^7$. Etcétera. Las secciones pares conducen a las ecuaciones.$c(2a) = \sqrt{4p^2-p^4}$,$c(4a) = \sqrt{16p^2-20p^4 + 8p^6-p^8}$, etcétera. El caso general se considera en el capítulo 8 [11, pp. 20–28] y los coeficientes de todas estas ecuaciones se pueden obtener de una tabla dada por Briggs [11, p. 23]. Esta mesa se puede extender fácilmente.

El trabajo de Briggs ciertamente está parcialmente inspirado en las Secciones Ad Angulares de François Viète.que tiene tal tabla [83, p. 295]. Viète, en particular, se cita explícitamente en la portada de Trigonometria Britannica. Es interesante observar que Jost Bürgi también obtuvo otra mesa similar para el mismo propósito, ciertamente de forma independiente, y la describió en su “Coss”, probablemente alrededor de 1598 [50, pp. 33–35] [58, p. 77]... Al igual que Bürgi antes que él [50], Briggs desarrolla un método para encontrar algunas raíces de estas ecuaciones por iteración... Este resulta ser exactamente el llamado método de Newton-Raphson, con la restricción de que solo una nueva dígito se obtiene a la vez. El método de Newton-Raphson en realidad se remonta al menos a Viète... El sexto capítulo de Trigonometria Britannica está dedicado a la quintisección de arcos y expone el mismo método. Briggs considera la ecuación$x^5-5x^3 + 5x = a$, una primera aproximación$b$de una raíz, y obtiene una nueva aproximación$L = b + c$con$c=\frac{a-b^5+5b^3-5b}{ 5b^4+15b^2+5}$. "

Incluso en la literatura recreativa reciente, el problema de la quintisección recibió poca atención, especialmente en comparación con el reciclaje interminable de la trisección. La aplicación del trisector de Miller a la quinquisección de cualquier ángulo apareció en Proceedings of the Royal Society of Edinburgh en 1902. Duncan y Barnier publicaron una nota de una página sobre trisección, quintisección,..., etc. en el Monthly de 1982, su única referencia es un libro de texto de álgebra. La trisección y pentasección de cualquier ángulo por divisores de Balo-Roy no es de fácil acceso, me temo. Hay un poco más sobre las construcciones de origami.