La geometría tal como se describe en los Elementos de Euclides se originó aproximadamente al mismo tiempo que Demócrito describió su teoría atómica .
Me pregunto qué tan cerca estaban relacionados estos dos puntos de vista en esos tiempos: la geometría matemática y el atomismo físico.
¿Existe evidencia de que matemáticos como Euclides consideraron teorías físicas como la de Demócrito y/o viceversa?
¿Hay menciones en los Elementos de Euclides que posiblemente sugieran que él conocía y había pensado en la teoría atómica de Demócrito?
¿Podría haber dicho un matemático como Euclides: "Considera el mundo que nos rodea y desprecia todos los átomos en él (que el maestro Demócrito ha demostrado que existen y describe): Lo que queda es 'espacio puro' y estas son las cosas que existen en él y el leyes que los rigen: ..."
Los átomos posteriores podrían volver al espacio:
En cada punto en el tiempo un átomo ocupa/define un punto en el espacio.
La distancia entre dos átomos es la distancia entre los puntos del espacio que ocupan.
Los átomos se mueven a lo largo de líneas rectas y círculos.
(Se podría haber dicho lo mismo sobre los cuerpos celestes, que desde la distancia parecen átomos).
Aun mas tarde:
Los átomos y/o los cuerpos celestes se mueven en epiciclos.
Los átomos y/o los cuerpos celestes se mueven sobre secciones cónicas.
Eran lo contrario de cerca. Los geómetras y los atomistas eran enemigos ideológicos acérrimos desde antes de Euclides. La razón de tan elevadas pasiones era que la visión griega de la geometría era diferente de la moderna visión relativista/formalista, para ellos estaba en juego la naturaleza del espacio real, no una ficción idealizada entre otras. Los indivisibles (átomos) y la divisibilidad infinita (geometría) no podían ir juntos, solo uno tenía que ser verdadero. En cuanto a los puntos, los geómetras los trataban como marcas colocadas a voluntad más que como algo real, Aristóteles rechaza explícitamente la idea de que el continuo se ensambla a partir de puntos. Para una revisión reciente, véase Aristidou Some Thoughts on the Epicurean Critique of Mathematics .
Epicuro postuló la longitud mínima concebible llamada elahiston , declaró que la geometría se basa en falsedades y la prohibió en el plan de estudios de su escuela. De manera similar, rechazó la astronomía matemática eudoxiana porque se basaba en la geometría. La rivalidad entre las escuelas epicúreas y eudoxianas contemporáneas fue bastante intensa, véase Epicuro de Sedley y los matemáticos de Cyzicus :
"Que Epicuro creía en una unidad de medida mínima a partir de la cual se componen no sólo los átomos, sino también todas las longitudes, áreas y volúmenes mayores, es ampliamente aceptado hoy en día; y la mayoría también estaría de acuerdo en que no se trata simplemente de un mínimo físico, que depende de la naturaleza de la materia, sino de un mínimo teórico, del cual nada más pequeño es concebible. Otros, tanto antes como después de Epicuro, han sido seducidos por teorías similares sin verse inducidos a rechazar la geometría convencional. Sin embargo, esta es precisamente la sanción que debería acarrear una teoría de las partes mínimas, pues una de sus consecuencias es hacer que todas las líneas sean múltiplos enteros de una sola longitud y, por lo tanto, conmensurables entre sí, mientras que la inconmensurabilidad de las líneas en las figuras geométricas había sido reconocido por los matemáticos griegos desde el siglo quinto."
Euclides registró en gran parte la geometría tal como la presentaron Eudoxo y otros pitagóricos tardíos, por lo que el atomismo y el movimiento le eran ajenos. Por el contrario, " si bien había algunos epicúreos que eran, o habían sido anteriormente, matemáticos, parece que la aceptación de la cosmovisión epicúrea implicaba generalmente, para estos individuos, una conversión de la práctica de la geometría" (White, What to Say to un geómetra, 1989). Algunos epicúreos intentaron socavar los argumentos geométricos, por ejemplo, Zenón de Sidón, según Proclo:
" Como algunas personas han planteado objeciones a la construcción del triángulo equilátero con el pensamiento de que estaban refutando toda la geometría, también les responderemos brevemente. El Zenón que mencionamos anteriormente afirma que, incluso si aceptamos los principios de la geómetras, las consecuencias posteriores no se sostienen a menos que admitamos que dos líneas rectas no pueden tener un segmento común. Porque si esto no se concede, la construcción del triángulo equilátero no está demostrada " .
Arquímedes en su Método parece estar al menos inspirado por el cálculo del volumen de la pirámide de Demócrito cortándola en los indivisibles, y escribe:
“ En el caso de los teoremas cuya prueba fue el primero en descubrir Eudoxo, que el cono es la tercera parte del cilindro y la pirámide del prisma, debemos dar no poca parte del crédito a Demócrito, que fue el primero. hacer la aseveración respecto de dicha figura, aunque no la probó ” .
Pero luego distingue explícitamente "descubrir por métodos mecánicos" de "demostrar por métodos geométricos", y da una clara prioridad a este último.
La diferencia entre un punto (como en Euclides) y un átomo en Demócrito es que un intervalo (o un plano o una figura sólida) en Euclides es infinitamente divisible, cada intervalo, por pequeño que sea, puede dividirse más. Mientras que en la teoría atómica, hay una parte más pequeña de la materia que no es más divisible. Si se aplican al mundo real, estos son dos puntos de vista opuestos (divisibilidad infinita de la materia contra la teoría atómica) que se discutieron desde la antigüedad. Otra diferencia importante es que Euclides no trató con el "mundo real", sino con objetos matemáticos idealizados, y probablemente lo entendió perfectamente.
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