Generador de una matriz de rotación

Tu matriz ortogonal

$$R(\phi,\theta)= \begin{bmatrix} \cos(\theta) &\sin(\theta) & 0 \\ \sin(\theta)\cos(\phi) & -\cos(\theta)\cos(\phi) & \sin(\phi)\\ \sin(\theta)\sin(\phi) & -\cos(\theta)\sin(\phi) &-\cos(\phi) \end{bmatrix}$$ debe tener generadores antisimétricos.

Para encontrarlos, debe expandirse alrededor del origen,$\phi=\pi, \theta=0$. Para disipar la confusión, defina$\Phi\equiv = \pi-\phi$, por lo que el origen está en$\Phi=\theta=0$.

$$R(\Phi,\theta)= \begin{bmatrix} \cos(\theta) &\sin(\theta) & 0 \\ - \sin(\theta)\cos(\Phi) & \cos(\theta)\cos(\Phi) & \sin(\Phi)\\ \sin(\theta)\sin(\Phi) & -\cos(\theta)\sin(\Phi) &\cos(\Phi) \end{bmatrix}$$

Evaluar$R(\delta\Phi, 0)=\bigg[I+t\delta\Phi\bigg]$, entonces

$$t= \begin{bmatrix} 0 &0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\\ 0 & - 1 &0 \end{bmatrix}.$$

¿También puedes evaluar$R(0,\delta \theta)$?

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Nota añadida según los comentarios.

La matriz de rotación anterior R entonces, en las convenciones de WP , es pero

$$e^{-\Phi L_x} e^{-\theta L_z} ,$$ que podría elegir componer por BCH , $$\exp (-\Phi L_x -\theta L_z+ \Phi \theta [L_x,L_z]/2+... ),$$ o la fórmula de rotación finita de Gibbs , etc. si así lo desea. Para ejes ortogonales como el suyo, la fórmula de Gibbs casi colapsa: el eje de rotación efectivo es paralelo a$\hat z \tan (\theta/2) +\hat x \tan (\Phi/2) +\hat y \tan (\theta/2) \tan (\Phi/2)$! (¿Puedes ver que este es precisamente el vector invariante de R?)

En cualquier caso, el procedimiento de limitación en el origen que produce los generadores de su matriz de rotación finita ha sacrificado información: convénzase de que varias matrices de rotación diferentes pueden compartir este comportamiento idéntico en el origen, por supuesto, piense en invertir el orden de las dos factores anteriores; por lo tanto, no debe esperar reconstituir esta matriz de rotación específica a partir del comportamiento del espacio tangente en el origen, en general. (Aquí ya factorizaste tus rotaciones finitas de antemano. Lo que garantiza el tercer teorema de Lie es esencialmente el teorema de Euler: las rotaciones de dos componentes se combinarán en una sola rotación alrededor de un nuevo eje).

La parametrización que ha dado simplemente no es de la forma exponencial que busca.

La matriz que ha anotado está parametrizada por la ubicación de la$x$eje después de la rotación, que tiene ángulo polar$\theta$y ángulo acimutal$\phi$en coordenadas esféricas polares dibujadas alrededor del viejo$x$eje. No es una rotación por ángulo.$\phi$sobre un eje en ángulo$\theta$, ni es una rotación por ángulo$\theta$sobre cualquier eje limpio, ni es una combinación de rotaciones por ángulos$\theta$y$\phi$. Por supuesto, puede expresarse como una rotación de cierto ángulo alrededor de cierto eje, pero ese ángulo no es ni$\theta$ni$\phi$.

Como tal, no hay una forma útil de encontrar una expansión de bajo orden en términos de$\theta$o$\phi$le dará un generador útil que volverá a crear su matriz sobre la exponenciación.