Representando su(2)su(2)su(2) Álgebra de mentira en un toro

Recientemente comencé a estudiar QFT (como pasatiempo posterior a la jubilación), basado en textos de David Tong y Anthony Zee.

Mi pregunta se basa en el Lie Algebra de la S tu ( 2 ) grupo, y cómo esto se puede representar en una variedad como el toro tridimensional (real) dimensional.

En particular, me gustaría saber cómo debo entender de qué manera la operación de conmutación del operador de espín [ S X , S y ] = S z debe entenderse cuando se realiza sobre un toro.

No busco necesariamente una respuesta directa, ya que producir una serie de imágenes puede llevar demasiado tiempo. He leído "Road to Reality" de Penrose, que pensé que podría darme la mejor imagen geométrica, pero no existe una respuesta directa allí.

Como persona que estudia por sí misma, me disculpo si me equivoco en mi intuición sobre lo que realmente representa el toroide.

En respuesta al comentario a continuación:

Me refiero a "representar" de manera general, en lugar de algo formal como la representación matricial.

Quiero decir, ¿hay una configuración de tipo dualidad? ¿Podemos usar la forma del toro para averiguar más sobre las propiedades de las partículas de espín?

Otra forma de hacer la pregunta: ¿hay alguna intuición física para elegir un toro y, de ser así, cómo refleja la forma del toro las partículas de espín o se trata simplemente de un mapeo matemático formal?

Mis pensamientos son que el toroide es solo otra forma de ver el problema, y ​​que debería haber operaciones equivalentes en él, pero podría estar leyendo demasiado,

Edite para incluir comentarios, ya que esta pregunta se basa en una suposición incorrecta mía, pero alguien podría encontrarla útil:

Solo para asegurarse: ¿quiere representar el álgebra de Lie como una variedad, no como el grupo? Porque SU(2) el grupo es el múltiple S3, pero probablemente eso no es lo que buscas. Además, cada grupo de Lie tiene un subgrupo que es un toro y es generado por la exponencial de la subálgebra de Cartan. En el caso de SU(2), que es de rango 1, el toro es simplemente un círculo.

¿Hay alguna fuente que esté leyendo donde tenga la idea de "representar SU (2) en un toro"? Ese no es un lenguaje estándar que yo sepa. Si pudiera citar alguna fuente, podría ayudarnos a comprender lo que está buscando.
@lukepritchett. Admito que mi pregunta es vaga, pero he tratado de aclararla un poco.
Solo para asegurarse: ¿quiere representar el álgebra de Lie como una variedad, no como el grupo? Porque S tu ( 2 ) el grupo es la multiplicidad S 3 , pero probablemente eso no sea lo que buscas.
Además, cada grupo de Lie tiene un subgrupo que es un toro y es generado por la exponencial de la subálgebra de Cartan. En el caso de S tu ( 2 ) , que es de rango 1 , el toro es solo un círculo. Entonces, de nuevo, probablemente eso no sea lo que buscas. Lo siento si solo estoy tirando cosas al azar.
@MannyC gracias, no aprecié la distinción, pero sé qué buscar ahora, eso es de gran ayuda.
No puedo entender esta pregunta. Creo que puede haber recibido algunas impresiones erróneas sobre las álgebras de Lie y sus representaciones. ¿Puedes explicar lo que leíste que te hizo hacer esta pregunta?
@gsmith Inicialmente leí cómo los patrocinadores de Dirac podrían describirse en diferentes representaciones. Luego asumí que el toro estaba conectado con el grupo y pasé un tiempo tratando de asignar correspondencias físicas entre las propiedades de las partículas de espín y la topología de la superficie y me convencí a mí mismo de que valía la pena hacer una pregunta. Como me señaló MannyC, el toro se ocupa del álgebra, no del grupo. Un poco de conocimiento......

Respuestas (1)

Considere la realización , no la representación, del álgebra de Lie su(2), en la base esférica,

[ S 0 , S ± ] = ± S ± [ S + , S − ] = 2 S ±     ,
en términos de los dos ángulos θ y ϕ dando la vuelta al 2-torus en las respectivas "direcciones",
S + = ϕ ∂ θ , S − = θ ∂ ϕ , S 0 = ϕ ∂ ϕ − θ ∂ θ   .

Puede comprobar fácilmente que satisfacen el álgebra de Lie.

Gracias, no creo que haya una respuesta más definitiva que esa.
Puede vestirse como una hoguera de matemáticas con mapas de Jordan, realizaciones de Bargmann, etc., pero solo oscurecerían la brutal estructura formal subyacente.
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