Se dice que los estados de una partícula en el espacio de Hilbert de una teoría de campo relativista cuantificada forman representaciones irreducibles del grupo de Poincaré. ¿Porqué es eso? Quiero decir, los textos populares en QFT no construyen explícitamente ninguna representación, sino que simplemente establecen que los estados de una partícula son representaciones. ¿Es esto tan obvio? Si no, ¿cómo se puede entender/asegurar que realmente forman una representación irreductible del grupo de Poincaré?
EDITAR: Además, se supone que los estados de una partícula son las representaciones irreducibles del grupo de Poincaré. ¿Significa que cualquier representación que esté etiquetada con valores únicos de los invariantes de Casimir es irreducible?
Esto se responde en profundidad en el libro de Weinberg sobre teoría cuántica de campos (Vol. I, Capítulo 2).
La invariancia relativista significa invariancia de traducción e invariancia de Lorentz, por lo tanto, obviamente, invariancia de Poincaré, de modo que uno tiene una representación del grupo de Poincaré. Debido a la invariancia relativista y la unitaridad, el espacio de Hilbert de una QFT tiene una representación unitaria del grupo de Poincaré y se divide (como cualquier representación unitaria) en una suma directa de irreductibles. Ser irreducible significa no ser más divisible, por lo tanto, elemental . Uno puede clasificarlos y encuentra que describen partículas relativistas individuales, por lo tanto, partículas elementales .
Las representaciones irreducibles tienen casimiros constantes, pero los valores de las constantes no siempre caracterizan a las irrep. En particular, todas las representaciones irreducibles sin masa del grupo de Poincaré tienen los mismos valores para los Casimiros pero pueden diferir en helicidad.
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