¿Existe un representante irreducible de dimensión finita? del grupo de Poincaré donde las traducciones actúan de manera no trivial?

Question

¿Existe un representante irreducible de dimensión finita? del grupo de Poincaré donde las traducciones actúan de manera no trivial?

Física
teoría de grupos
poincaré-simetría
relatividad especial
representaciones de grupo
teoría de la representación

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Leí varios libros de texto de QFT y descubrí que hay dos formas de clasificar las partículas o campos. El primero es estudiar la representación irreducible del grupo de Lorentz (o exactamente el grupo de cobertura universal $SL(2,C)$ ). Entonces encontramos una representación irreducible pero no unitaria $(i,j)$ que es de dimensión finita y los usa para representar diferentes tipos de campo. El segundo es estudiar la representación unitaria del grupo de Poincaré y podemos clasificar las partículas por masa y espín.

Entonces mi pregunta es:

¿Por qué no estudiamos la representación irreducible de dimensión finita del grupo de Poincaré , como el grupo de Lorentz? Algunas personas dirán que la representación útil en Mecánica Cuántica es la representación unitaria y el grupo de Poincaré que no es compacto no tiene representación unitaria de dimensión finita. Sin embargo, este argumento no es convincente, porque no puede explicar por qué todavía estudiamos la representación finita del grupo de Lorentz.
Excepto el representante "trivial", ¿existe algún otro representante irreducible de dimensión finita? del grupo de Poincaré? Aquí "trivial" significa el representante. que podemos obtener ampliando la representación original. del grupo de Lorentz al permitir que la traducción actúe trivialmente en el espacio de representación original.

Por ejemplo, tenemos un representante fiel. del grupo Poincaré, $\begin{pmatrix} \Lambda & x \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ , dónde $\Lambda$ es la transformación de Lorentz y $x$ es traducción. Esta es una representación reducible pero indescomponible. Siempre podemos definir un representante irreducible. del grupo de Poincaré por

F : (\begin{matrix} Λ & X \\ 0 & 1 \end{matrix}) \to D_{(i, j)} (Λ)

$f:\begin{pmatrix} \Lambda & x \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\rightarrow D_{(i,j)}(\Lambda)$ dónde

D_{(i, j)} (Λ)

$D_{(i,j)}(\Lambda)$ es el representante irreducible. del grupo Lorentz. Entonces, ¿hay otra representación irreducible de dimensión finita? del grupo de Poincaré?

Parece que usamos el representante del grupo Lorentz. para clasificar los campos y utilizar el representante del grupo Poincare. para clasificar las partículas. Debido a que la isometría del espacio-tiempo de Minkovski es el grupo de Poincaré, ¿por qué solo usamos el representante del grupo de Lorentz? para clasificar los campos y no tener en cuenta todo el grupo de Poincaré?

Valter Moretti

Todas las representaciones irreducibles unitarias del grupo de Lorentz son de dimensión infinita. Esta es la razón. De hecho, representantes unitarios. del grupo de Poincaré se estudian en general no sólo las del grupo de Lorentz al definir la noción de partícula elemental en el sentido de Wigner. Al tratar con campos, la parte traslacional actúa de manera trivial, por esta razón, generalmente se ignora cuando se ven campos como una sección en algún paquete de vectores basado en el espacio-tiempo.

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@ValterMoretti Gracias. ACuriousMind y tu respuesta han resuelto la pregunta 1,3. ¿Tienes alguna idea de la pregunta 2?

Valter Moretti

En realidad no, ¿trataste de echar un vistazo al libro de texto de Barut Raczac sobre representaciones?

Respuestas (3)

¿Existe un representante irreducible de dimensión finita? del grupo de Poincaré donde las traducciones actúan de manera no trivial?

Todas las representaciones irreducibles unitarias del grupo de Lorentz son de dimensión infinita. Esta es la razón. De hecho, representantes unitarios. del grupo de Poincaré se estudian en general no sólo las del grupo de Lorentz al definir la noción de partícula elemental en el sentido de Wigner. Al tratar con campos, la parte traslacional actúa de manera trivial, por esta razón, generalmente se ignora cuando se ven campos como una sección en algún paquete de vectores basado en el espacio-tiempo.
@ValterMoretti Gracias. ACuriousMind y tu respuesta han resuelto la pregunta 1,3. ¿Tienes alguna idea de la pregunta 2?
En realidad no, ¿trataste de echar un vistazo al libro de texto de Barut Raczac sobre representaciones?

una mente curiosa · Answer 1

Dejar $\phi : \mathbb{R}^4\to V$ ser un campo con espacio vectorial de destino (complejo) $V$ , transformándose en una representación proyectiva de dimensión finita $\rho_\text{fin} : \mathrm{SO}(1,3)\to\mathrm{U}(V)$ . Como es un campo, la representación de las traducciones $\mathbb{R}^4$ en $V$ es el trivial, ya que el campo se transforma como $\phi(x)\overset{x\mapsto x+a}{\mapsto} \phi(x+a)$ . Por lo tanto, el campo se transforma en una representación de dimensión finita $\sigma_\text{fin}$ del grupo de Poincaré, pero la parte no trivial, es decir interesante, es la representación del grupo de Lorentz. Por lo tanto, su premisa de que "solo estudiamos representaciones de dimensión finita del grupo de Lorentz" es incorrecta, es solo que las traslaciones de dimensión finita siempre están representadas por su representación trivial.

En la teoría cuántica de campos, el campo ahora se convierte en valor de operador , actuando sobre algún espacio de Hilbert $\mathcal{H}$ . Dado que la teoría cuántica de campos tendrá simetría de Poincaré, debe haber una representación unitaria proyectiva $\sigma_\text{U} : \mathrm{SO}(1,3)\ltimes\mathbb{R}^4\to\mathrm{U}(\mathcal{H})$ sobre este espacio de estado. Por uno de los axiomas de Wightman , tenemos que

σ_{aleta} (Λ, a) ϕ (Λ^{- 1} X - a) = σ_{tu} (Λ, a)^{†} ϕ (X) σ_{tu} (Λ, a) \forall Λ \in S O (1, 3), a \in R^{4}

$\sigma_\text{fin}(\Lambda,a)\phi(\Lambda^{-1} x-a) = \sigma_\text{U}(\Lambda,a)^\dagger \phi(x)\sigma_\text{U}(\Lambda,a)\quad \forall \Lambda\in\mathrm{SO}(1,3),a\in\mathbb{R}^4$ donde en el lhs,

σ_{fin}

$\sigma_\text{fin}$ es una matriz de dimensión finita que actúa sobre el vector

(ϕ^{1}, \dots, ϕ^{\dim (V)})

$(\phi^1,\dots,\phi^{\dim(V)})$ , y a la derecha, el

σ_{U}

$\sigma_\text{U}$ son operadores en

H

$\mathcal{H}$ se multiplican con cada operador componente

ϕ^{i}

$\phi^i$ .

Estudiamos las representaciones de dimensión finita debido a esta relación: tenemos que conocer las representaciones de dimensión finita para poder dar el campo "clásico", y tenemos que conocer la representación unitaria de dimensión infinita para saber cómo actúa la simetría de Poincaré. sobre estados, y porque las representaciones unitarias irreducibles corresponden a partículas según la clasificación de Wigner . Dado que el grupo de Poincaré es tan no compacto como el grupo de Lorentz, estos también son de dimensión infinita.

Gracias. Según tu respuesta he entendido mi pregunta 1,3. ¿Tienes alguna idea sobre la pregunta 2?
@ user34669: No tengo idea, excepto que probablemente sean físicamente irrelevantes. No necesitamos ninguna representación de traslación de dimensión finita no trivial, ya que los campos siempre tienen que transformarse de forma trivial.
Sí. no necesitamos considerar este caso en física. La pregunta 2 es sólo de interés matemático.
@ACuriousMind Una vez más, interesante y apunta al hecho crucial de que requerir unitaridad tiene que ver con la teoría cuántica. Pero de nuevo, la representación $\sigma_{\text{fin}}$ ¡¡La traducción en el campo es obviamente infinitamente dimensional!! (A menos que me falte un argumento que diga que el espacio de los campos es de dimensión finita...)
@Noix07 $V$ no es el espacio de campos sino el espacio objetivo de dimensión finita de los campos. Tienes razón en que hay una representación de dimensión infinita en el espacio de funciones, pero no hablo de eso en esta respuesta.
"Por lo tanto, el campo se transforma en una representación de dimensión finita $\sigma_{\text{fin}}$ ": ¿qué se transforma? el campo. ¿En qué espacio? el espacio de los campos, es decir, de las funciones. Entonces, como no se menciona explícitamente, la razón por la que uno se interesa por las representaciones unitarias del grupo de Poincaré tiene que ver con el axioma de la mecánica cuántica que dice que los estados son descritos por rayos. Luego, por el teorema de Wigner, las representaciones proyectivas sobre rayos pueden elevarse a representación verdadera, ya sea unitaria o antiunitaria. Y finalmente, para el subgrupo conexo de Poincaré que contiene la identidad..
$g\in\mathcal{P}$ Se puede escribir como $𝑔′ \cdot 𝑔′=𝑔$ por lo que la representación tiene que ser unitaria ( $\rho(g)$ es un cuadrado $=\rho(g')\circ \rho(g')$ y no puede ser antiunitario). Puede que haya sido demasiado elíptico sobre el teorema de Wigner: la acción tiene que preservar las probabilidades de transición.

Richard Shurtleff · Answer 2

Los representantes de la matriz del grupo de Poincaré se pueden encontrar resolviendo las relaciones de conmutación. Consulte arXiv:math-ph/0401002v3 2 de julio de 2007 Derivación de matrices vectoriales y de momento.

megaleo · Answer 3

Sobre el punto 2, este artículo muestra algunas representaciones de dimensión finita no triviales del álgebra de Poincaré. Una cosa interesante que sucede es que, dado que el grupo de Poincaré no es compacto y continuo, no podemos garantizar que las representaciones sean irreducibles o completamente reducibles (o descomponibles). En efecto, el artículo trata de los indescomponibles.

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Noix07

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megaleo

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