¿Por qué los espacios propios de un operador hermitiano son mutuamente ortogonales? [cerrado]

Cualquier observable en la función de onda debe tener forma hermitiana, lo que significa que sus valores propios deben ser reales, y siempre se puede encontrar una base ortogonal a partir de los estados propios relacionados con estos valores, incluso si son degenerados.

Una matriz hermítica es aquella que es igual a su conjugado hermético:

$$A=A^\dagger=\overline{A^T}$$

Podemos probar la ortogonalidad de los vectores propios de una matriz hermitiana para valores propios distintos:

Tenemos dos vectores propios relacionados con diferentes valores propios

$$Av^i=\lambda_i v^i$$ $$Av^j=\lambda_j v^j$$

Tomamos el conjugado hermitiano del$\lambda_i$caso, y operar sobre el derecho de$v^j$:

$$(v^i)^\dagger A^\dagger v^j = \overline{\lambda_i }(v^i)^\dagger v^j=\lambda_i (v^i)^\dagger v^j$$ Dado que los valores propios son reales.

También podemos multiplicar el$\lambda_j$caso a la izquierda por$(v^i)^\dagger$:

$$(v^i)^\dagger A v^j=\lambda_j (v^i)^\dagger v^j$$

Desde$A=A^\dagger$tenemos:

$$0=(\lambda_i-\lambda_j)(v^i)^\dagger v^j$$

Dado que los vectores propios son para valores diferentes,$\lambda_i≠\lambda_j$entonces$(v^i)^\dagger v^j=0$lo que implica ortogonalidad. En el caso de valores propios degenerados, podemos usar la ortogonalización de Gram-Schmidt para producir un conjunto de bases ortogonales, ya que cualquier suma lineal de vectores propios de un valor propio también es un vector propio de ese valor.

La normalidad se deriva del hecho de que si$v^i$es un vector propio de$A$con valor propio$\lambda_i$entonces$\alpha v^i$es así, por lo que puede normalizar estos valores.