¿Por qué los armónicos de un tono de piano no son múltiplos de la frecuencia base?

Este efecto se conoce como falta de armonía y es importante para la afinación precisa del piano.

Idealmente, las ondas en una cuerda satisfacen la ecuación de onda

$$v^2 \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 y}{\partial t^2}.$$ El lado izquierdo es de la tensión en la cuerda que actúa como una fuerza restauradora.

Las soluciones son de la forma$\sin(kx - \omega t)$, dónde$\omega = kv$. Aplicando condiciones de contorno fijas, los valores permitidos del número de onda$k$son múltiplos enteros del número de onda más bajo posible, lo que implica que las frecuencias permitidas son múltiplos enteros de la frecuencia fundamental. Esto predice armónicos espaciados uniformemente.

Sin embargo, las cuerdas de piano están hechas de alambre grueso. Si dobla un alambre grueso, hay una fuerza de restauración adicional además de la tensión del alambre, porque el interior del doblez se comprime mientras que el exterior se estira. Se puede demostrar que esto modifica la ecuación de onda a

$$v^2 \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} - A \frac{\partial^4 y}{\partial x^4} = \frac{\partial^2 y}{\partial t^2}.$$ Al tomar una transformada de Fourier, tenemos la relación de dispersión no lineal $$\omega = kv \sqrt{1 + (A/v^2)k^2}$$ que "estira" valores uniformemente espaciados de$k$en valores espaciados no uniformemente de$\omega$. Los armónicos más altos están más separados. Podemos escribir esta ecuación en términos de las frecuencias armónicas$f_n$como $$f_n \propto n \sqrt{1+Bn^2}$$ lo que debería producir un buen ajuste a sus datos. Tenga en cuenta que las frecuencias no dependen de la amplitud, como notó, y esto se debe a que nuestra ecuación de onda modificada sigue siendo lineal en$y$.

Este efecto hay que tenerlo en cuenta a la hora de afinar un piano, ya que percibimos dos notas afinadas cuando sus armónicos se superponen. Esto da como resultado una afinación estirada , donde los intervalos entre las frecuencias fundamentales de diferentes teclas son ligeramente más grandes de lo que cabría esperar. Es decir, un piano cuyas frecuencias fundamentales estuvieran realmente afinadas en proporciones simples sonaría desafinado.

En lenguaje sencillo, hay rigidez en los extremos de las cuerdas donde están fijadas en su lugar, lo que hace que la frecuencia de vibración de la cuerda sea ligeramente más alta (más aguda), lo que acorta ligeramente la longitud de la cuerda, para todos los propósitos prácticos. Y la resistencia a la flexión depende de la frecuencia. Se comporta de forma más “rígida” con respecto a las frecuencias más altas, reduciendo cada vez más las longitudes efectivas de la cuerda para cada armónico de frecuencia más alta (“parcial”). Por lo tanto, los parciales superiores son efectivamente más agudos en tono, cuanto más altos se vuelven.

Todos los instrumentos de cuerda exhiben este efecto hasta cierto punto, y es parte de la razón por la cual los sonidos de piano realistas eran difíciles de sintetizar electrónicamente en los primeros sintetizadores... cuando todos los armónicos están afinados, el timbre suena "más muerto" y menos rico.

Un ejemplo de esto en la vida real serían las cuerdas de guitarra, que eventualmente se “mueren” a medida que las usa y no suenan tan bien como las cuerdas nuevas. Esto se debe a que el efecto acumulativo de tocarlos los hace cada vez más suaves y flexibles, reduciendo la rigidez en los extremos fijos y haciendo que los parciales superiores estén más en sintonía con la fundamental. Esto suena "más apagado", mucho menos rico en tono que las cuerdas nuevas y mucho más rígidas.

También significa que los pianos tienen que estar "afinados de forma ampliada"... las notas bajas se afinan ligeramente planas y las notas altas se afinan ligeramente agudas. De lo contrario, tocar un C1 y un C6 al mismo tiempo sonaría un poco desafinado, ya que el parcial de C1 más cercano a C6 sería un poco más nítido que la frecuencia matemáticamente precisa de C6 de 2^5 veces la frecuencia de C1*, lo que resultaría en un “golpe” audible y desafinado del parcial contra la raíz de C6, como dos cuerdas cuyas fundamentales están cerca pero no exactamente afinadas. Afinar C6 ligeramente agudo en la misma cantidad que el parcial de 6 octavas de C1 es agudo, irónicamente, hace que el piano suene más afinado.

EDITAR: * Un comentario a continuación me llamó la atención sobre el hecho de que originalmente había cometido un error aquí. La frecuencia de C6 es 2^5 veces la frecuencia de C1, porque cada octava es una duplicación de frecuencia. En términos de frecuencia:

• C2 = 2*C1 (=2^1*C1)
• C3 = 2*2*C1 (=2^2*C1)
• C4 = 2^3*C1
• C5 = 2^4*C1
• C6 = 2^5*C1

Así que de ahí viene el 2^5.]

Al realizar la transformada de Fourier, obtengo un resultado ligeramente diferente para el espectro de frecuencia que 'knzouh'. solía$u$en vez de$y$y$c$en vez de$v$, por lo que la PDE se convierte en:

$$u_{tt}=c^2u_{xx}-Au_{xxxx}$$ Fourier transformando la ecuación: $$F\{u_{tt}\}=F\{c^2u_{xx}\}-F\{Au_{xxxx}\}$$ transformando $x$a $k$: $$\hat{u}(k,t)=\int_{-\infty}^{+\infty}u(x,t)e^{-ikx}dx$$ $$\int_{-\infty}^{+\infty}u_{tt}(x,t)e^{-ikx}dx=\frac{\partial^2}{\partial t^2}\hat{u}(k,t)$$ $$F\{c^2u_{xx}\}=c^2(ki)^2\hat{u}(k,t)=-c^2k^2\hat{u}(k,t)$$ $$F\{Au_{xxxx}\}=A(ki)^4\hat{u}(k,t)=Ak^4\hat{u}(k,t)$$ Insertando obtenemos:

$$\frac{\partial^2}{\partial t^2}\hat{u}(k,t)=-c^2k^2\hat{u}(k,t)-Ak^4\hat{u}(k,t)$$ $$\frac{\partial^2}{\partial t^2}\hat{u}(k,t)=-k^2(Ak^2+c^2)\hat{u}(k,t)$$ Llamar: $$\hat{u}(k,t)=U(t)$$ Asi que $$U''(t)+k^2(Ak^2+c^2)U(t)=0$$ $$U(t)=c_1\sin(k\sqrt{Ak^2+c^2}t)+c_2\cos(k\sqrt{Ak^2+c^2}t)$$ $$\omega=2\pi f=k\sqrt{Ak^2+c^2}=kc\sqrt{\Big(\frac{A}{c}\Big)^2k^2+1}$$ $$f_n \propto n \sqrt{Bn^2+1}$$