¿Cómo se producen armónicos al tocar una cuerda?

Leí lo siguiente de wikipedia:

Cuando una cuerda se puntea normalmente, el oído tiende a escuchar la frecuencia fundamental de manera más prominente, pero el sonido general también está coloreado por la presencia de varios armónicos (frecuencias mayores que la frecuencia fundamental).

Cuando toco una cuerda, noto un nodo en cada extremo y un antinodo en el medio. ¿Cómo podemos tener sobretonos además de la frecuencia fundamental? Me parece contradictorio.

Considere los armónicos (en una guitarra, bajo, arpa, etc.): cuando toca ligeramente la cuerda que vibra en su punto medio, amortigua todas las vibraciones sin un nodo en L/2, pero aún escucha un sonido. Estos son los armónicos con un nodo en L/2, y el de mayor amplitud suele ser 2*f, por lo que escuchas la octava por encima de f.
El segundo armónico tiene un nodo en el medio, simplemente no puedes verlo porque el primer armónico mueve el medio de la cuerda hacia arriba y hacia abajo. Si de alguna manera pudiera restar el movimiento sinusoidal del tono base de la vibración de la cuerda, probablemente sería más claro. Pero, de nuevo, está el tercer armónico moviéndolo hacia arriba y hacia abajo.
porque la forma de la cuerda pulsada no es sinusoidal sino triangular.

Respuestas (4)

La única manera de evitar armónicos sería puntear la cuerda de forma que su forma inicial sea sinusoidal. Sin embargo, eso sería casi imposible. En la práctica, la forma inicial es casi siempre triangular.

Si está familiarizado con las transformadas de Fourier, considere cómo haría una descomposición discreta de Fourier de la forma inicial de la cuerda. Los componentes de Fourier corresponden a los sobretonos.

¿Tienes más información sobre este efecto? La forma de onda no permanece triangular después de tocar la cuerda, ¿verdad?
Un ejemplo del movimiento de cuerdas se muestra en youtube.com/watch?v=_X72on6CSL0 (no para una guitarra, pero es un buen ejemplo que es relevante).
@EricDuminil No, no es así, ya que los armónicos altos se filtran con bastante rapidez. Puede disfrutar jugando con la síntesis de cuerdas Karplus–Strong . Es muy fácil de implementar (por ejemplo, en Python ) y ofrece un sonido de cuerda pulsada sorprendentemente realista para un algoritmo tan simple.
@EricDuminil: incluso en ausencia de fricción e histéresis, la cuerda no se mantendrá triangular en absoluto. Después de todo, los diferentes armónicos oscilan a diferentes frecuencias. Además, la descomposición de Fourier no es 100 % correcta para una cuerda pulsada, ya que la tensión en la cuerda en realidad varía con el tiempo, y en cualquier momento (excepto el comienzo) la tensión ni siquiera es igual en todos los puntos a lo largo de la cuerda. cuerda. Es una buena aproximación, pero la situación real siempre es mucho más complicada.
Perdón. sigo sin entender Por ejemplo, quiero tocar la guitarra con la cuerda al aire y quiero producir el segundo armónico, ¿cómo puedo hacerlo?
Eso es fácil. Intente tocar la cuerda exactamente en el medio y tírela a la mitad entre su dedo y el extremo. Obtendrás una nota 1 octava por encima de la fundamental. Luego intente lo mismo, pero toque la cuerda a 1/3 del final y tírela a la mitad entre allí y el final. Dependiendo de la calidad de su instrumento, puede obtener tonos bastante claros hasta el cuarto o quinto armónico.

Los modos propios de una cadena tienen forma espacial sinusoidal F metro ( X ) = C metro pecado ⁡ ( π metro X / L ) , donde X es la coordenada paralela y L es la longitud de la cadena. Pulsar una cuerda en un lugar fijo X 0 significa darle una perturbación inicial no sinusoidal, por ejemplo, algo así como una función lineal por partes, F ( X ) = A X / X 0 por X ≤ X 0 y F ( X ) = A ( L − X ) / ( L − X 0 ) por X ≥ X 0 . Expandiendo la perturbación inicial F ( X ) en modos propios F metro ( X ) muestra cuánto se excita inicialmente cada armónico, en general sería un espectro completo de modos propios.

Necesitas multiplicar eso por una función cuadrada; las cuerdas son muy finitas en comparación con el espacio que ocupan.

Comienzas con una forma triangular, que tiene su serie de Fourier. Digamos que la forma inicial es F ( X ) :

F ( X ) = ∑ norte a norte pecado ⁡ π norte X L
donde norte cuenta los modos ( 1 es fundamental). Así que la forma inicial determina el contenido armónico. a norte de ciertos modos. Si puntea en el medio, pondrá más de lo fundamental en el espectro inicial, y en todos los modos impares, pero ningún modo par en absoluto. Si toca cerca del final de la cuerda (como en una guitarra), obtiene todos los modos, con los modos más altos aún menos prominentes.

Esta forma luego evoluciona en el tiempo. Cada modo tiene una frecuencia, relacionada con la longitud de onda:

F ( X , t ) = ∑ norte a norte pecado ⁡ π norte X L porque ⁡ ω norte t
ω norte es proporcional a norte (determinado por ω = k C , donde k = 2 π / λ el vector de onda del modo y C es la velocidad de propagación de las ondas en la cuerda).

Esto haría que el movimiento fuera completamente periódico y la forma volvería a su forma inicial después de un ciclo de la frecuencia fundamental. Sin embargo, la vibración siempre se amortigua: una pequeña cantidad mediante la radiación de sonido en el aire y, sobre todo, mediante la conversión en calor (la cuerda no es perfectamente elástica). Los modos de frecuencia más alta siempre están mucho más amortiguados: si exiges vibraciones rizadas muy finas y detalladas, esto se amortiguará mucho porque la curvatura de la cuerda es alta. Por lo general, obtienes algo como eso:

F ( X , t ) = ∑ norte a norte mi − t / τ norte pecado ⁡ π norte X L porque ⁡ ω norte t

donde τ norte es el tiempo de amortiguamiento característico de norte modo th. Se podría decir que la intensidad de los componentes espectrales cae más rápido para los sobretonos más altos y el tono se vuelve más sinusoidal. Los armónicos muy altos asociados con la torcedura triangular pronunciada en la posición de desplumado solo producen un sonido de "plunk" y desaparecen casi instantáneamente.

La amortiguación de frecuencias más altas siempre tiene un efecto de suavizado en la forma: con el tiempo, la forma se redondea, sin esquinas afiladas.

No estás escuchando la cuerda sino el cuerpo resonante y la cuerda. Una guitarra acústica resuena con sus cuerdas pulsadas. El color del sonido está determinado por su formante, y lo que escuchas como frecuencia fundamental puede ser, de hecho, un múltiplo de eso, con subtonos y sobretonos, según el tipo de cuerpo resonante. Los cuerpos resonantes de una guitarra y un violonchelo (por ejemplo) tienen formantes diferentes y, por lo tanto, dan como resultado una envolvente espectral diferente y un timbre diferente, para la misma frecuencia fundamental.

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