¿Cómo afecta la tensión, o la longitud, a los sobretonos de una cuerda?

En un experimento reciente vi que las notas con el mismo tono, tocadas en cuerdas de diferente tensión, tienen un número diferente de sobretonos. El tono se mantiene constante alterando la longitud. Menos tensión correlacionada con más matices. ¿Tiene esto algo que ver con la longitud de la cadena?

Una cuerda ideal solo tiene masa y tensión. Las ondas estacionarias son posibles en cada múltiplo entero de la frecuencia fundamental, por lo que se obtiene la serie armónica completa. Las cuerdas reales tienen rigidez, lo que introduce una ∂ 4 y ∂ X 4 término en la ecuación de movimiento. Los armónicos aumentan de frecuencia y ya no caen en múltiplos enteros exactos. Cuanto más corta es la cuerda, más pronunciado es el efecto de rigidez. Entonces, no sé si las cuerdas más cortas tienen más matices, pero tal vez se noten más porque suenan discordantes.
¿Hay alguna forma de derivar matemáticamente las amplitudes de estos sobretonos?
Si tienes las condiciones iniciales. Una condición inicial típica sería una cuerda pulsada, de forma triangular estacionaria en t = 0 .

Respuestas (1)

Para construir sobre los comentarios de Ben51, necesitamos desviarnos de la ecuación de onda clásica. Gracia y Sanz-Perela 2016 utilizan:


∂ 2 tu ∂ t 2 = C 2 ∂ 2 tu ∂ X 2 − mi S k 2 ρ ∂ 4 tu ∂ X 4

Dónde mi es el módulo de Young para el material de la cuerda, ρ es su densidad lineal, S es el área de la sección transversal de la cuerda, y k es el 'radio de giro', que estiman como k = R/2 para una cuerda cilíndrica de radio R .

Para responder a su pregunta , los autores sugieren que el espectro de frecuencia de una cuerda con rigidez toma la forma:


F norte = norte   F o 1 + B norte 2     ( norte ≥ 1 )

Dónde B es un parámetro de inarmonía. Sugieren que para cuerdas de piano se trata de 10 − 3 .

(Recuerde que para una cadena ideal: F norte = norte   F o )

+1, pero es posible que desee agregar la definición de S como el área de la sección transversal de la cuerda :)
Comentario menor a la publicación (v1): en el futuro, enlace a páginas de resumen en lugar de archivos pdf.
Esta es la razón por la que los pianos de cola son los más grandes: cuanto más larga es la cuerda, más armónicos son los sobretonos: + Δ F el cambio de la rigidez de la cuerda se minimiza. Según la descomposición de Fourier de Ben51 del triángulo formado a partir del punteo: los pianos tienen el martillo golpeando a 1/7 de la longitud de la cuerda, ya que ese sobretono es discordante siguiendo: C, C, G, C, E, G, B-bemol
¿Cómo afecta la tensión, o la longitud, a los sobretonos de una cuerda?
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v