Física de cuerdas de guitarra.

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Física de cuerdas de guitarra.

ondas
cadena
Física
acústica
Armónicos

rebeca murray

Los guitarristas normalmente presionan con fuerza los trastes y luego tocan una cuerda para obtener una nota. Sin embargo, también se pueden crear notas simplemente tocando la cuerda sobre un traste en particular y punteando.

Por ejemplo, si solo presiono una cuerda alrededor de dos tercios de la altura de la guitarra (desde el puente), se crea una nota de una octava más alta que cuando presiono firmemente en el mismo lugar. Sé que un aumento de una octava es lo mismo que doblar el tono.

¿Como sucedió esto? ¿Cuál es la física detrás de esto? Supuse que tenía algo que ver con los nodos, pero no estaba seguro.

fqq

Sugerencia: la nota que describe, una octava más alta, se obtiene exactamente en la mitad de la longitud (traste 12), no en 2/3.

caña nathan

@fqq "una octava más alta en el tono que cuando presiono firmemente en el mismo lugar ", es decir, el tercer armónico de la cuerda al aire, en comparación con tocar la cuerda a 2/3 de su longitud abierta.

caña nathan

Y para OP, el fenómeno se llama armónicos de guitarra y Wikipedia tiene una buena explicación.

fqq

@NathanReed tienes razón, no leí bien, lo siento. Eso es correcto.

Respuestas (4)

Física de cuerdas de guitarra.

Sugerencia: la nota que describe, una octava más alta, se obtiene exactamente en la mitad de la longitud (traste 12), no en 2/3.
@fqq "una octava más alta en el tono que cuando presiono firmemente en el mismo lugar ", es decir, el tercer armónico de la cuerda al aire, en comparación con tocar la cuerda a 2/3 de su longitud abierta.
Y para OP, el fenómeno se llama armónicos de guitarra y Wikipedia tiene una buena explicación.
@NathanReed tienes razón, no leí bien, lo siento. Eso es correcto.

alfredo centauro · Answer 1

¿Como sucedió esto? ¿Cuál es la física detrás de esto?

Si presionas la cuerda y la pulsas, la cuerda vibrará más fuerte en el punto medio (entre el puente y el traste). Este es el modo vibratorio fundamental de la cuerda.

Al colocar su dedo suavemente, por ejemplo, en el medio de la cuerda y tirar (mientras retira rápidamente el dedo), obliga a la cuerda a vibrar de manera que el medio sea un nodo .

En tal caso, la cuerda vibra en un modo de orden superior (segundo, tercero, etc.) donde hay uno o más nodos a lo largo de la cuerda en lugar de solo en los extremos.

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Credito de imagen

La física requiere que, en los modos de orden superior, la frecuencia de las variaciones de amplitud sea mayor, lo que corresponde a un tono más alto.

Por ejemplo, en el segundo modo, el tono es dos veces más alto que en el modo fundamental.

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Crédito gif animado

@BillN, estaba agregando los créditos justo cuando llegó tu comentario.
La forma de onda real difiere de lo que se muestra arriba. Si mira videos en cámara lenta de cuerdas de guitarra, las formas de onda se parecen más a trapecios que a ondas sinusoidales.
@ ja72, si toca la cuerda de la guitarra cerca del puente, lejos del antinodo, sonará 'brillante', lo que indica la presencia de varios armónicos, como se esperaría de, por ejemplo, una onda trapezoidal (sin embargo, los armónicos más altos serán decae más rápido que la fundamental y eventualmente, la cuerda vibrará más o menos en el modo fundamental). Si tocas la cuerda de la guitarra en el antinodo, vibrará casi sinusoidalmente. Si, como pregunta el OP, toca ligeramente la cuerda de arriba, por ejemplo, el traste 12 y la suelta mientras toca, excitará la cuerda en el segundo armónico.

proyecto de ley n · Answer 2

Una cuerda fija en ambos extremos, como en una guitarra, puede vibrar en un modo de "onda estacionaria" en varias frecuencias diferentes. La frecuencia más baja, la fundamental, es tal que la longitud de la cuerda coincide con la mitad de una longitud de onda, $L=\lambda/2$ . El medio de la cuerda tiene el máximo desplazamiento desde el reposo y los dos extremos no se mueven. En este caso, el punto medio de la cuerda se llama antinodo y los extremos son (siempre) nodos. La frecuencia de la cuerda y, por lo tanto, la frecuencia de la onda sonora en el aire generada por las vibraciones de la cuerda es

F_{1} = \frac{v}{λ} = \frac{v}{2 L}

$f_1 = \frac{v}{\lambda} = \frac{v}{2L}$ dónde

v

$v$ es la velocidad de la onda en la cuerda . Esta velocidad depende del material de la cuerda, del grosor y de la tensión (opresión) de la cuerda. Una cuerda más gruesa y densa significa una velocidad más lenta y más apretada significa una velocidad más alta. Es por eso que las cuerdas de tono más alto son generalmente delgadas y las de tono más bajo son gruesas. Es útil que las cuerdas de la guitarra tengan una tensión casi uniforme para que el mástil no se mueva hacia los lados.

Esta fundamental no es la única frecuencia presente cuando se puntea una cuerda. Otra onda estacionaria tiene un nodo en el medio y antinodos en 1/4 y 3/4. Esto significa que la longitud de la cuerda es igual a la longitud de onda de esta onda, $L=\lambda_2$ . Entonces la frecuencia de esta onda es

F_{2} = \frac{v}{L} = 2 F_{1} .

$f_2=\frac{v}{L} = 2f_1.$ ¡Ajá! Esta segunda onda está una octava por encima de la fundamental. Se llama el segundo parcial, el segundo armónico (musical) y el primer sobretono de una cuerda (fijo en ambos extremos). Puede hacer que esta nota suene fuerte de dos maneras: 1) presione en el traste 12, lo que fuerza la longitud de la cuerda a

L_{n e w} = L / 2

$L_{new}=L/2$ así que ahora el nuevo fundamental es

v / L

$v/L$ o 2) toque la cuerda justo sobre el traste 12 (en

L / 2

$L/2$ ) que fuerza un nodo donde normalmente habría un antinodo de la fundamental. Esto evita que suene la fundamental, por lo que puede escuchar el sobretono.

Verás, cuando tocas una cuerda de guitarra, agregas energía a la cuerda en cientos de frecuencias diferentes. Esto se debe a algo llamado el Teorema de Fourier. Solo las frecuencias en este punteo que coincidan con posibles ondas estacionarias en la cuerda persistirán más de unos pocos milisegundos. Todos los demás se disiparon rápidamente en la energía interna de los componentes de cuerda y guitarra, para no volver a escucharse nunca más. Entonces, un punteo dará como resultado que la cuerda tenga el fundamental, el primer sobretono, el segundo, el tercero y así sucesivamente.

Veamos el segundo sobretono. Esto requiere otro nodo, con los nodos espaciados uniformemente en la cuerda, por lo que ahora tenemos 3 antinodos y la longitud de la cuerda se divide en 3 medias longitudes de onda, $L=3\frac{\lambda_3}{2}$ . La frecuencia resultante es

F_{3} = \frac{v}{L (2 / 3)} = \frac{3 v}{2 L} = 3 F_{1}

$f_3=\frac{v}{L(2/3)}=\frac{3v}{2L} = 3f_1$ Esta frecuencia también

3 / 2 f_{2}

$3/2f_2$ . Una relación de frecuencia de 3/2 es una quinta musical, por ejemplo, G hasta D.

Si considera la posición de tocar D en la cuerda G, eso es en el séptimo traste, y también es 1/3 del camino desde la tuerca hasta el puente (su posición de 2/3). Si presiona allí, la nueva longitud de la cuerda es 2/3L, por lo que la fundamental de esta cuerda con trastes sería

F_{F r mi t 7} = \frac{v}{2 (L) (2 / 3)} = \frac{3 v}{4 L}

$f_{fret7}=\frac{v}{2(L)(2/3)} = \frac{3v}{4L}$ . Esto es exactamente la mitad de la frecuencia del segundo sobretono (también llamado tercer armónico). El simple hecho de tocar la cuerda justo por encima del 7.° traste elimina la fundamental original y el 1.er sobretono, lo que permite que el 2.° sobretono se escuche con una frecuencia una octava más alta que la nota presionada en el 7.° traste.

Y así es como sucede. Si toca justo por encima del traste 5, obtendrá una octava doble porque ahora ha matado las vibraciones de los primeros tres armónicos y ha forzado un nodo en la ubicación nodal para el armónico 4/3er sobretono.

Pequeño quisquilloso. El Teorema de Fourier no causa las frecuencias múltiples ("debido a"), ayuda a describirlas .
@Floris Fourier Theorem le permite mostrar que la forma de onda de arranque es equivalente a múltiples entradas de seno/coseno de frecuencia. "Debido a" se trata de "cómo explicamos" las múltiples f. Nunca quise implicar causa .

Juan Alexiou · Answer 3

Respuesta armónica

Considere una cuerda elástica estirada entre dos puntos fijos una distancia $L$ aparte. La respuesta armónica es una onda estacionaria con velocidad $c=\sqrt{E/\rho}$

\begin{aligned} y (X, t) & = \sum_{i = 1}^{\infty} pecado (\frac{i π X}{L}) (A_{i} pecado (\frac{i π C t}{L}) + B_{i} porque (\frac{i π C t}{L})) \\ \dot{y} (X, t) & = \sum_{i = 1}^{\infty} pecado (\frac{i π X}{L}) \frac{i π C}{L} (A_{i} porque (\frac{i π C t}{L}) - B_{i} pecado (\frac{i π C t}{L})) \end{aligned}

$\begin{align} y(x,t) &=\sum_{i=1}^{\infty}\sin\left(\frac{i\pi x}{L}\right)\left(A_{i}\sin\left(\frac{i\pi ct}{L}\right)+B_{i}\cos\left(\frac{i\pi ct}{L}\right)\right) \\ \dot{y}(x,t) &=\sum_{i=1}^{\infty}\sin\left(\frac{i\pi x}{L}\right)\frac{i\pi c}{L}\left(A_{i}\cos\left(\frac{i\pi ct}{L}\right)-B_{i}\sin\left(\frac{i\pi ct}{L}\right)\right) \end{align}$

con coeficientes desconocidos $A_{i}$ y $B_{i}$ dependiendo de las condiciones iniciales. Este es el resultado de la ecuación de movimiento.

T \frac{\partial^{2} y (X, t)}{\partial X^{2}} - ρ S \frac{\partial^{2} y (X, t)}{\partial t^{2}} = 0

$T\,\frac{\partial^{2}y(x,t)}{\partial x^{2}}-\rho\,S\,\frac{\partial^{2}y(x,t)}{\partial t^{2}}=0$

_{dónde $T$ es la tensión elástica en $\rm{[N]}$ , $E$ el módulo elástico en $[{\rm N/m^2}]$ , $S$ es el área de la cuerda en $[{\rm m^2}]$ y $\rho$ la densidad de masa en $[\rm{kg}/{m^{3}}]$ .}

Condiciones iniciales

Ahora considera en $t=0$ la forma y la velocidad de la cuerda a ser $y(x,0)=U(x)$ y $\dot{y}(x,o)=V(x)$ .

Por ejemplo, para un punteo lento en el punto $x_p$ la velocidad inicial es cero $V(x)=0$ y la forma es

tu (X) = {\begin{cases} {tu}_{0} (\frac{X}{X_{pag}}) & 0 \geq X \geq X_{pag} \\ {tu}_{0} (1 - \frac{X - X_{pag}}{L - X_{pag}}) & X_{pag} > X \geq L \end{cases}

$U(x)=\begin{cases} U_{0}\left(\frac{x}{x_{p}}\right) & 0\geq x\geq x_{p}\\ U_{0}\left(1-\frac{x-x_{p}}{L-x_{p}}\right) & x_{p}>x\geq L \end{cases}$ _{dónde $U_0$ es la amplitud del arranque}

Análisis de Fourier

Expandiendo la siguiente descomposición de frecuencias obtenemos los coeficientes $A_i$ y $B_i$ .

\begin{aligned} \int_{0}^{L} pecado (\frac{j π X}{L}) tu (X) d X & = \frac{L}{2} \sum_{i = 1}^{\infty} [B_{i} d_{i j}] = \frac{L}{2} B_{j} \\ \int_{0}^{L} pecado (\frac{j π X}{L}) V (X) d X & = \frac{L}{2} \sum_{i = 1}^{\infty} [\frac{i π C}{L} A_{i} d_{i j}] = \frac{i π C}{2} A_{j} \end{aligned}} \begin{aligned} A_{i} & = \frac{2}{i π C} \int_{0}^{L} pecado (\frac{i π X}{L}) V (X) d X \\ B_{i} & = \frac{2}{L} \int_{0}^{L} pecado (\frac{i π X}{L}) tu (X) d X \end{aligned}

$\left. \begin{aligned} \int\limits _{0}^{L}\sin\left(\frac{j\pi x}{L}\right)U(x)\,{\rm d}x&=\frac{L}{2}\sum_{i=1}^{\infty}\left[B_{i}\delta_{ij}\right]=\frac{L}{2}B_{j} \\ \int\limits _{0}^{L}\sin\left(\frac{j\pi x}{L}\right)V(x)\,{\rm d}x&=\frac{L}{2}\sum_{i=1}^{\infty}\left[\frac{i\pi c}{L}A_{i}\delta_{ij}\right]=\frac{i\pi c}{2}A_{j} \end{aligned} \right\} \boxed{ \begin{aligned} A_{i}&=\frac{2}{i\pi c}\int\limits _{0}^{L}\sin\left(\frac{i\pi x}{L}\right)V(x)\,{\rm d}x \\ B_{i}&=\frac{2}{L}\int\limits _{0}^{L}\sin\left(\frac{i\pi x}{L}\right)U(x)\,{\rm d}x \end{aligned} }$

Nuevamente para la cuerda pulsada lentamente obtenemos

\begin{aligned} A_{i} & = 0 \\ B_{i} & = {tu}_{0} \frac{2 L^{2} pecado (\frac{π i X_{pag}}{L})}{π^{2} i^{2} X_{pag} (L - X_{pag})} \end{aligned}

$\begin{aligned} A_{i}&=0 \\ B_{i}&=U_{0}\frac{2L^{2}\sin\left(\frac{\pi ix_{p}}{L}\right)}{\pi^{2}i^{2}x_{p}\left(L-x_{p}\right)} \end{aligned}$

Ejemplo

Una cuerda pulsada lentamente en el medio $x_p = \frac{1}{2} L$ tiene solución

y (X, t) = \sum_{i = 1}^{\infty} \frac{8 {tu}_{0}}{i^{2} π^{2}} pecado (\frac{i π X}{L}) pecado (\frac{i π}{2}) porque (\frac{π C i t}{L})

$y(x,t) = \sum_{i=1}^{\infty} \frac{8 U_0}{i^2 \pi^2} \sin\left( \frac{i \pi x}{L} \right) \sin\left( \frac{i \pi}{2} \right) \cos\left( \frac{\pi c i t}{L} \right)$

y (X, t) \approx \frac{8 {tu}_{0}}{π^{2}} [porque (θ) pecado (\frac{π X}{L}) - \frac{1}{9} porque (3 θ) pecado (\frac{3 π X}{L}) + \frac{1}{25} porque (5 θ) pecado (\frac{5 π X}{L}) + \dots]

$y(x,t) \approx \frac{8 U_0}{\pi^2} \left[ \cos(\theta) \sin\left( \frac{\pi x}{L} \right) - \frac{1}{9} \cos(3\theta) \sin\left( \frac{3 \pi x}{L} \right) +\frac{1}{25} \cos(5\theta) \sin\left( \frac{5 \pi x}{L} \right) + \ldots \right]$

_{dónde $\theta = \frac{\pi c t}{L}$ es una nueva variable independiente que reemplaza al tiempo.}

Sr. Frety · Answer 4

Además de la frecuencia "usual" de la cuerda, siempre produce tonos con múltiples frecuencias enteras con volumen decreciente debido a un efecto llamado ondas estacionarias. Cuando se humedece, digamos que en el medio de la cuerda solo quedan múltiplos de 2 porque solo esas ondas estacionarias tienen un nodo allí. Lo que escuche será una octava porque la más baja de las frecuencias será la más alta. Si humedece un tercio de la cuerda, solo quedan múltiplos de 3 veces la frecuencia de tierra, etc.

Física de cuerdas de guitarra.

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Respuestas (4)

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Respuesta armónica

Condiciones iniciales

Análisis de Fourier

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