Física de una guitarra

Veamos la frecuencia en lugar de las notas. Digamos que la cuerda tiene una frecuencia natural de$100 Hz$y que los armónicos están presentes cuando lo tocas. Entonces, el contenido de frecuencia del sonido será de la forma:

$a_1 \cdot 100 Hz + a_2 \cdot 200 Hz + a_3 \cdot 300 Hz + ...$

Ahora, digamos que traspasas esta cuerda hasta la mitad de modo que la frecuencia natural se vuelve$200 Hz$. Cuando se pulsa, el contenido de frecuencia del sonido será de la forma:

$b_1 \cdot 200 Hz + b_2 \cdot 400 Hz + b_3 \cdot 600 Hz + ...$

¿Ver la diferencia? Al segundo sonido le faltan muchas frecuencias que contenía el primer sonido.

Hay una serie de razones por las que se producen armónicos. Una es que cuando tocas la cuerda, la configuración inicial no es una sinusoide pura sino más bien un diente de sierra o un triángulo. Es fácil demostrar matemáticamente que una forma de diente de sierra o triángulo se puede "construir" a partir de la fundamental y los armónicos. Solo la sinusoide tiene una sola frecuencia.

Pulsar en un punto diferente cambia la configuración inicial y, por lo tanto, el contenido de frecuencia.

La frecuencia es solo una forma de analizar un movimiento dependiente del tiempo. Considere tocar una cuerda tirando primero de un punto de la cuerda fuera de su equilibrio. La forma de la cuerda será como un triángulo, dos trozos rectos de cuerda que salen de donde su dedo sostiene la cuerda, pero se unen en un ligero ángulo donde su dedo sostiene la cuerda.

Ese triángulo se puede expresar como una suma de sinusoides a través del análisis de Fourier. Sabemos que los extremos de la cadena están obligados a estar en 0, por lo que sabemos que solo los componentes de Fourier que tienen 0 en los dos extremos de las cadenas se usan en la expansión de Fourier. Entonces tenemos

Sorprendentemente, cada uno de estos componentes espaciales de Fourier corresponderá a un componente de frecuencia temporal, uno de los armónicos, que veremos cuando soltamos la cuerda (terminamos de tocar). La cuerda no mantendrá su forma triangular porque los diferentes componentes de Fourier evolucionarán a diferentes velocidades.

Así que tenemos una forma complicada dependiente del tiempo de la cuerda pulsada.$S(x,t)$que resulta ser expresable como la suma de formas sinusoidales de la cuerda que comienza como la forma triangular del punteo inicial.

Conexión al dominio del tiempo

Arriba escribimos las ecuaciones espaciales como una serie de Fourier. Un cartel mejor que yo encontraría los valores de$a_n$para sumar a una bonita onda triangular para ti, pero no lo haré. Pero esos son los valores de$a_n$querrías

Pero lo podemos hacer mejor. Cada componente espacial de Fourier$sin(n\pi x/L)$tiene una evolución temporal armónica específica asociada con él$cos(n\omega_0 t)$.$f_n = n w_0/(2\pi)$son las frecuencias armónicas de las que hemos hablado anteriormente. Entonces, en realidad tenemos una solución dependiente del tiempo para el movimiento de la cuerda liberada:

Si pudiéramos arrancar la cuerda inicialmente en forma de media onda sinusoidal que se extiende desde x=0 hasta x=L, cuando la soltáramos, resonaría SÓLO a la frecuencia fundamental f_0. Pero la forma triangular de la cuerda se descompone en una variedad de componentes de onda sinusoidal, cada uno de los cuales evolucionará en el tiempo más rápido que los armónicos inferiores. La evolución neta de$S(x,t)$será algo hermoso de ver, y si ustedes comenzaran a pagarme, escribiría el código de matlab para hacer la animación y descubriría cómo publicarla. Pero de forma gratuita, tendrá que estar motivado para codificar esto usted mismo para verlo. Baste decir que, una vez que comienza el movimiento, la cuerda ya no parece una onda triangular.

En resumen, debido a que nuestro punteo original tiene una forma de cuerda que puede escribirse como una serie de Fourier sobre muchos componentes de onda sinusoidal diferentes, la cuerda cuando se mueve tendrá un movimiento armónico a muchas frecuencias diferentes, todas armónicas de la frecuencia del$n=1$variación de tiempo de onda sinusoidal más larga.

No hemos intentado escribir la ecuación diferencial de tiempo y espacio de la que proviene esta solución. Aprenderás todo esto a su debido tiempo. Simplemente hemos afirmado una solución que al menos tiene sentido intuitivo: cuanto mayor sea la "frecuencia espacial" del componente de onda sinusoidal de la cuerda, mayor será la frecuencia temporal asociada con ese componente espacial, y así es como obtenemos todos esos armónicos en nuestra cuerda pulsada.

http://www.ftj.agh.edu.pl/pl/000.html?plik=video/jf2008_noc_gitara.html - los recién graduados hablan sobre la física de la guitarra en polaco, algunos gráficos podrían ser útiles para los hablantes de inglés