¡No es amplificación! El propósito del cuerpo de la guitarra es igualar la impedancia y el modo entre la cuerda y el aire circundante.

Intuición

Cuando un objeto vibra, empuja el aire circundante creando ondas de presión que escuchamos como sonido. Una cuerda que vibra sola sin el cuerpo del instrumento no produce un sonido muy fuerte porque el intercambio de energía de la cuerda vibrante a las ondas de presión del aire es ineficiente. ¿Por qué es ineficiente?

La razón fundamental es que la cuerda es mucho más rígida que el aire circundante y tiene un área de sección transversal pequeña. Esto significa que como la cuerda vibra con una determinada cantidad de energía, en realidad no desplaza mucho aire. Con la misma energía en el movimiento, un objeto más grande y mecánicamente más flexible (por ejemplo, el cuerpo de la guitarra acústica) haría un mejor trabajo al transferir la energía al aire y, por lo tanto, a los oídos.

Análisis

La ecuación de movimiento de una cuerda vibrante con desplazamiento vertical.$u$y posición horizontal$x$es

dónde$v = \sqrt{T/\mu}$es la velocidad del sonido en la cuerda,$\mu$es la densidad de masa lineal, y$T$es la tensión. Si considera, por ejemplo, el modo fundamental, entonces la solución es de la forma

Reemplazando esto en la ecuación de movimiento te da

Ahora supongamos que agregamos la fricción del aire. Definimos un coeficiente de arrastre$\gamma$diciendo que la fuerza de fricción sobre un trozo de la cuerda en movimiento de longitud$\delta x$es

Tenga en cuenta que$\gamma$tiene dimensiones de fuerza por velocidad por longitud. Los coeficientes de arrastre suelen ser fuerza por velocidad; el extra "por longitud" entra porque definimos$\gamma$como la fuerza de fricción por longitud de cuerda.

Agregando este término de arrastre, volviendo a derivar la ecuación de movimiento y especializándonos nuevamente en un solo modo, terminamos con

Ahora tenemos un oscilador armónico amortiguado. La velocidad a la que decae este oscilador amortiguado le indica qué tan rápido (es decir, qué tan eficientemente) ese oscilador transfiere energía al aire. La tasa de pérdida de energía$\kappa$para un oscilador armónico amortiguado es solo el coeficiente de la$\dot{f}$término, que para nosotros es$\kappa = \gamma / \mu$.$^{[1]}$

el factor calidad$Q$del resonador, que es el número de radianes de oscilación que ocurren antes de que la energía decaiga a$1/e$de su valor inicial, es

Más bajo$Q$significa menos oscilaciones antes de que la energía de la cuerda se haya disipado como sonido. En otras palabras, bajar$Q$significa instrumento más fuerte. Como podemos ver,$Q$disminuye si$\mu$o$T$disminuye Esto está en perfecto acuerdo con nuestra discusión intuitiva anterior: una tensión más baja permitiría que la cuerda se desvíe más para una cantidad dada de energía vibratoria, empujando así más aire y entregando más rápidamente su energía al aire.

Coincidencia de impedancia y modo

Muy bien, entonces, ¿qué sucede cuando conectamos la cuerda al cuerpo de una guitarra? Anteriormente argumentamos que la cuerda de menor tensión tiene una producción de sonido más eficiente porque puede moverse más lejos para empujar más aire. Sin embargo, sabes que esta no es toda la historia con el cuerpo de la guitarra porque claramente ves con tus ojos que la superficie del cuerpo de la guitarra no se desvía tanto como lo hace la cuerda. Tenga en cuenta que la superficie de la guitarra tiene mucha más área que la cuerda. Esto significa que para una velocidad dada, la fuerza de fricción es mucho mayor, es decir$\gamma$es más grande que para la cuerda.

Así que ahí lo tienes: el cuerpo de la guitarra tiene menor$T$y más alto$\gamma$que la cuerda. Ambos contribuyen a que la$Q$más bajo, lo que significa que el cuerpo de la guitarra que vibra transfiere energía al aire circundante de manera más eficiente que la cuerda desnuda.

Bajando el$T$ser más mecánicamente compatible como el aire es "adaptación de impedancia". En general, dos modos con una respuesta similar a la fuerza externa (o voltaje, o lo que sea), transfieren energía entre ellos de manera más eficiente. Este es precisamente el mismo principio que funciona cuando se utiliza un fluido de coincidencia de índices en un microscopio de inmersión para evitar la difracción, o una red de coincidencia de impedancia en un circuito de microondas para evitar reflejos.

Aumentar el área para hacerse más grande$\gamma$es "coincidencia de modo". Se llama emparejamiento de modos porque estás tomando un modo vibratorio con una sección transversal pequeña (la cuerda) y transfiriendo la energía a uno con una sección transversal más grande (el cuerpo de la guitarra), que se adapta mejor a las ondas que estás tratando de obtener. energía en (la sala de conciertos). Esta es la misma razón por la que los instrumentos de trompeta se ensanchan desde una pequeña abertura en los lados de la boca en un lado, hasta una gran abertura del tamaño de una "sala de conciertos" en el otro extremo.

[1] Es posible que haya cometido un factor de 2 aquí. No importa para el punto de este cálculo.

Versión simple: cuando algo vibra, ejerce presión sobre las moléculas de aire que lo rodean, haciéndolas vibrar. Entonces, si solo 1 o 2 cuerdas vibran, no hará vibrar muchas moléculas porque no está tocando muchas de ellas. Entonces, puedes imaginar que cuando una gran pieza plana de madera también vibra, hará un sonido más fuerte porque se mueven más moléculas.