¿Por qué los agujeros negros más grandes emiten menos radiación de Hawking que los agujeros negros más pequeños?

La aceleración gravitatoria newtoniana para un objeto de masa.$M$viene dada por la conocida expresión:

$$a = \frac{GM}{r^2} \tag{1}$$

Y el radio del horizonte de sucesos de un agujero negro viene dado por:

$$r_s = \frac{2GM}{c^2} \tag{2}$$

Supongamos que calculamos la aceleración gravitatoria newtoniana en el horizonte de sucesos. No nos preocupemos si esto es físicamente realista por ahora, seguiremos adelante y lo haremos de todos modos. Si reordenamos la ecuación (2) para obtener:

$$GM = \frac{c^2r_s}{2}$$

entonces podemos sustituir$GM$en la ecuación (1) para obtener:

$$a(r_s) = \frac{c^2}{2r_s} \tag{3}$$

Y lo que encontramos es que la aceleración gravitatoria en el horizonte de sucesos es proporcional a$1/r_s$por lo tanto, los agujeros negros más pequeños tienen una aceleración superficial más alta que los agujeros negros más grandes. La temperatura de la radiación de Hawking está relacionada con esta aceleración superficial. lo que tiene sentido intuitivo. Si el campo gravitacional es más fuerte, esperaría que la radiación de Hawking fuera más fuerte. Y eso significa:

Los agujeros negros más pequeños son más calientes que los agujeros negros más grandes

Hacer esto riguroso requiere un trabajo considerable, así que no entraré en detalles. Definimos una propiedad llamada gravedad superficial ,$\kappa$, que es efectivamente la aceleración gravitacional en el horizonte de eventos y encontramos que para un agujero negro estático esto viene dado por:

$$\kappa = \frac{1}{2r_s} \tag{4}$$

Esta es la versión relativista general apropiada de la gravedad superficial newtoniana que derivé en la ecuación (3). La temperatura de Hawking es entonces simplemente:

$$T_H = \frac{\hbar c}{2\pi k_B} \kappa$$

Entonces, al igual que con nuestro cálculo aproximado, encontramos que la temperatura es proporcional a$1/r_s$es decir, los agujeros negros más pequeños son más calientes que los agujeros negros más grandes.

Aquí hay una respuesta más basada en la termodinámica. Todo se reduce a esto: la entropía de un agujero negro es proporcional a su área de superficie, pero su masa = energía al radio.

Puedes pensarlo de la siguiente manera: todos los estados dentro del agujero negro son iguales para los observadores del exterior. La información sobre el interior está codificada en la superficie porque puede resolver problemas de valores límite. Así que cuanto mayor sea la superficie, mayor será la entropía. Esto está lejos de ser una prueba, pero puedes hacer esto riguroso.

Ahora bien, ¿qué son el calor y la temperatura? El calor es la transferencia espontánea de energía, sin que se realice trabajo. La segunda ley de la termodinámica dice que la entropía nunca puede disminuir. Como la energía se conserva, para dos sistemas en equilibrio,

$$\frac{\Delta S_1}{\Delta U} = \frac{\Delta S_2}{\Delta U}$$ es decir, el cambio en la entropía $S_1$del sistema 1 debido al cambio de su energía por $\Delta U$es igual al cambio de entropía $S_2$del sistema 2 debido a que cambia su energía en la misma cantidad. Por lo tanto, definimos $$\beta = \frac{\partial S}{\partial U}$$ y puedes darte cuenta de eso $\beta = 1/T$dónde $T$es la temperatura (El calor fluye de baja $\beta$en lo alto $\beta$, pero desde lo alto $T$muy bajo $T$.)

De la relatividad general tenemos que la masa$M$y radio$r$de un agujero negro son proporcionales,$r = 2GM/c^2$. Si tomamos la energía para ser$U = E = Mc^2$, entonces$U \propto r$, entonces$S \propto U^{2}$lo que da$\beta \propto U$o$T \propto 1/r \propto 1/M$. Por lo tanto, un agujero negro más pequeño es más caliente y, en consecuencia, irradia más.

Si invertimos la relación entre entropía y energía, obtenemos$U \propto \sqrt S$. Trama$\sqrt S$. Es muy empinado para los pequeños.$S$, y bastante plano para grandes$S$. Eso significa que para los agujeros negros pequeños, la radiación de Hawking solo necesita tener una pequeña entropía, incluso si la intensidad es grande, para que la termodinámica permita el proceso.

Puede obtener más información de estas charlas del propio Hawking. Hawking usa algunos conceptos técnicos, pero espero que sean bastante accesibles. (Lo son, al menos, mucho más que los documentos originales).

¿Cómo es que la radiación de Hawking puede escapar de los agujeros negros en primer lugar cuando la luz visible (que sé que es otra forma de radiación) no puede?

Bueno, para empezar, ¿sabes qué es la radiación de cuerpo negro?

En pocas palabras, un cuerpo negro es aquel que absorbe toda la luz a la que está sujeto y cuando dicho cuerpo alcanza una cierta temperatura$T$procederá a emitir radiación en algún lugar del espectro electromagnético.

Ahora, clásicamente, un agujero negro ciertamente absorberá toda la luz a la que está sujeto. Sin embargo, ¿no alcanza necesariamente una temperatura en la que puede emitir radiación? Entonces, ¿podemos clasificar un agujero negro como un cuerpo negro?

Bueno, la radiación del cuerpo negro es un efecto cuántico. Gracias a Planck y su famosa constante. A continuación, considere las fluctuaciones cuánticas y la incertidumbre relacionada con QM, que se analiza con gran detalle aquí .

Las fluctuaciones cuánticas de energía negativa asociadas con el campo electromagnético cuántico son inofensivas y, a menudo, desaparecen tan rápido como aparecen. Sin embargo, si uno aparece ante el horizonte de sucesos de un agujero negro, es posible que lo cruce. Una vez sobre el horizonte de sucesos, es posible que el fotón tenga energía cinética negativa (como nota al margen, esto puede conducir a una región prohibida y permitir la posibilidad de un túnel cuántico que se analiza en Maulik K. Parikh y Frank Wilczek ) . El fotón de energía positiva asociado se deja en el exterior del horizonte que continuará moviéndose hacia el exterior.

Si los agujeros negros esencialmente absorben masa y la convierten en radiación de Hawking, ¿por qué un agujero negro más masivo no emitiría más radiación de Hawking?

Es importante tener en cuenta que nada pasa realmente desde dentro y fuera del horizonte, es más el hecho de que el fotón de energía negativa hace una contribución negativa a la masa del agujero negro. Esta contribución es la radiación de Hawking.

Ahora, si acepta que los agujeros negros irradian con el fotón positivo, entonces la respuesta a su siguiente pregunta sigue el mismo camino simplemente aplicando algo de termodinámica a la física de los agujeros negros.

La fórmula para la luminosidad de la radiación de un agujero negro es inversamente proporcional al cuadrado de la masa del agujero negro y, por lo tanto, se hará más pequeña a medida que aumente la masa. Algunas referencias para fórmulas se dan aquí y aquí .