¿Cómo determinamos la temperatura de un Agujero Negro?

Clásicamente, tienes toda la razón.

Mecánicamente cuántica, algo extraño sucede. Resulta que la forma en que definimos qué es una partícula y, por lo tanto, qué es el vacío, depende de nuestra noción del tiempo; en particular, estás atrapado con partículas que son objetos que propagan información en el tiempo, en lugar de atrás en el tiempo.

En relatividad general, sin embargo, sabemos que la noción de tiempo en el horizonte de un agujero negro no es equivalente a la noción de tiempo lejos del agujero negro. Lo que esto significa es que si toma una solución de vacío lejos del agujero negro, y en el pasado distante del agujero negro, y la sigue en el tiempo, encontrará que para cuando llegue al agujero negro, aparecerá que ese estado contendrá partículas! Además, algunas de estas partículas viajarán por encima de la velocidad de escape y, en los últimos momentos, estarán arbitrariamente lejos del agujero negro. Entonces, la radiación de Hawking es inherentemente un efecto mecánico cuántico derivado del hecho de que la definición de una 'partícula' es ambigua en la relatividad general.

Además, cuando analice este gas de partículas radiantes, encontrará que es exactamente equivalente a un gas que tiene una temperatura proporcional a la fuerza gravitatoria que siente en el horizonte un observador que cae en el agujero negro.

La temperatura se determina utilizando el principio de equivalencia y la temperatura se detecta mediante detectores de aceleración.

Cuando un detector está acelerando para siempre en una cierta dirección fija con aceleración$a$, ve una temperatura de fondo térmico igual a$a/2\pi$. Este fondo térmico está asociado con el horizonte que forma la partícula acelerada, ya que un haz de luz a cierta distancia del observador acelerado nunca lo alcanza.

La razón es que una trayectoria acelerada es una hipérbola, porque la aceleración es la curvatura de la trayectoria de la partícula a través del espacio-tiempo, y la curvatura es constante, y en la geometría relativista, la curva de curvatura constante es una hipérbola, al igual que en la geometría euclidiana. es un círculo (esto viene del signo menos en la versión relativista del teorema de Pitágoras).

La coordenada de tiempo hiperbólico es el análogo del ángulo en coordenadas polares euclidianas, y si formula una teoría cuántica de campo para las coordenadas de aceleración, la continuación de tiempo imaginario es periódica con período$2\pi$, lo que significa que la teoría es térmica. Esto es un poco técnico, pero puedes confiar en el resultado de Unruh. Para una teoría de campo libre que interactúa con un detector, como los fotones que interactúan con un átomo acelerado, el resultado de Unruh de que el átomo se comporta como si estuviera en un entorno térmico puede verificarse mediante cálculos directos de la respuesta de un detector acelerado, no solo por fantasía. métodos.

Si estás cerca del horizonte de un agujero negro, debes acelerar para evitar caer. Esto significa que debes ver una temperatura de Unruh, por el principio de equivalencia. Esta temperatura de Unruh está en la coordenada "t" del exterior, que se convierte en la coordenada similar a un ángulo de Unruh cerca del horizonte. Esta radiación debe ser autoconsistente a medida que te alejas del agujero negro, y la condición de autoconsistencia es que la radiación está a una temperatura que es más pequeña en una cantidad proporcional a la velocidad a la que funcionan los relojes. cuanto más rápido marcan, más fría es la temperatura.

Cuando desplazas hacia el rojo la temperatura de Unruh cercana al horizonte infinitamente lejos del agujero negro, encuentras una respuesta finita. esta respuesta es$8\pi M$, o proporcional a la masa del agujero negro. Esto es equivalente a encontrar la continuación analítica de la solución del agujero negro al tiempo imaginario e identificar la periodicidad de esta solución, y la razón es el argumento físico anterior (ya que la radiación de Unruh es la periodicidad en el tiempo imaginario).

Este argumento ha sido confuso en el pasado, porque la mayoría de las soluciones no tienen una continuación analítica. ¿Cómo depende una temperatura física de la continuación analítica? Realmente no lo hace. Lo único que se usa es el principio de equivalencia, para vincular la periodicidad en el tiempo imaginario cerca del horizonte (donde es solo el espacio de Minkowski) a la periodicidad más lejana. Matemáticamente, esto es lo mismo que la periodicidad en tiempo imaginario de la solución relativista general continua.

Estas cosas están explicadas de forma algo más completa y técnica en Wikipedia, bajo el efecto Unruh y la radiación de Hawking .

La temperatura de un agujero negro viene dada por:

$T = \frac{\hbar c^3}{8\pi kGM} \tag{1}$

Entonces, si se conoce la masa del agujero negro, normalmente calculando el efecto que tiene el agujero negro en el espacio circundante, puede calcular la temperatura del agujero negro.