¿Por qué las transformaciones de simetría están conectadas a la identidad necesariamente representadas por operadores unitarios lineales?

Bueno, el punto no es la continuidad de la representación (si la continuidad se refiere a la representación, ver el comentario final), sino un hecho más profundo relacionado con el grupo mismo (aunque algún argumento vago basado en la continuidad también de la representación es recurrente en el literatura).

También hay que recordar que ( teorema de Wigner ) las simetrías se representan mediante operadores unitarios/antiunitarios hasta fases . Esto está de acuerdo con el hecho básico de QM en espacios de Hilbert de que los estados (puros) están representados por vectores unitarios hasta fases arbitrarias.

Por lo tanto, los grupos de simetrías están representados por mapas$G \ni g\mapsto U_g$dónde

(a)$U_g$se define hasta una fase y

(b) el requisito relativo a la preservación de la estructura del grupo se hace más débil ($e$es el elemento neutro de$G$):

$$U_e= e^{i\gamma(e)} I\:,\quad U_g U_f =e^{i\gamma(g,f)} U_{g\circ f}$$ para algunas fases relacionadas con las elecciones de los operadores unitarios/antiunitarios $U_h$.

Subrayo que, en vista del teorema de Wigner, el carácter unitario/antiunitario de$U_g$depende de$g$solamente (si el espacio de Hilbert tiene una dimensión mayor que$1$) entonces, la ambigüedad restante en la fijación del mapa$g \mapsto U_g$se refiere solo a la fase arbitraria y no al carácter del operador$U_g$.

Un mapa que satisfaga (a) y (b) (con una elección precisa de los operadores$U_g$) se llama representación proyectiva unitaria de$G$.

En algunos casos, especialmente cuando$G$está equipado con otras estructuras como la del grupo Lie , es posible redefinir los operadores$U_g$mediante fases adecuadas,$U'_g = \omega_g U_g$, para terminar con una representación de grupo estándar

$$U'_e= I\:,\quad U'_g U'_f = U'_{g\circ f}\:.$$ Este es un problema cohomológico difícil con resultados importantes, como el teorema de Bargmann , que no abordaré aquí (el libro de Varadarajan sobre la geometría de QM incluye una lista de resultados relevantes y muy delicados en esta área de la teoría de la representación de grupos).

Volviendo a la pregunta principal, considere un grupo$G$tal que cada elemento$g\in G$se puede descomponer en el producto$g= h^2 = h\circ h$. Un ejemplo trivial pero físicamente fundamental es$\mathbb R$como grupo aditivo.

A continuación, considere una representación proyectiva unitaria$G \ni g \to U_g$asociando cada$g$con operador unitario/antiunitario$U_g$.

La relación$g=h\circ h$, teniendo en cuenta (b), implica

$$U_g = e^{i\gamma(h,g)} U_h U_h\:.$$

No importa si$U_h$es unitario o antiunitario, la composición$U_hU_h$es unitario y las fases no juegan ningún papel.$U_g$es necesariamente unitario aquí!

En particular, toda representación proyectiva unitaria de$\mathbb R$está necesariamente hecha de operadores unitarios (incluso si las fases no son fijas y si la representación no tiene propiedad de continuidad). Este es uno de los puntos de partida para formular la versión cuántica del teorema de Noether .

En resumen, si$G$es tal que$g= h^2$para cada$g\in G$y un asociado$h\in G$, entonces toda representación hasta fases debe estar hecha de operadores unitarios únicamente.

El mismo argumento se extiende al caso más complicado donde$g = h_1^2 \circ \cdots \circ h_N^2$.

Ahora considere un grupo de Lie $G$.

Solo hay un componente conectado. $G_0$que también es un subgrupo de Lie, el que contiene el elemento neutro$e$. Por ejemplo, este componente es$SU(2)$si el grupo completo es$U(2)$, el grupo ortocrónico especial de Poincaré para el grupo de Poincaré ,$SO(3)$para$O(3)$, etcétera.

En un barrio suficientemente pequeño$A$(que se puede arreglar para satisfacer$A=A^{-1}$) de$e$en$G_0$, cada elemento$g \in A$Se puede escribir como$g = \exp(t T)$por algún elemento$T$del álgebra de mentira de$G_0$y algo$t\geq 0$. Por lo tanto$g= h^2$dónde$h = \exp((t/2) T)$.

Finalmente, como para todo grupo conexo topológico, es posible demostrar que$g \in G_0$es el producto de un número finito (dependiendo de$g$) de elementos en cada barrio$O$del elemento neutro, de modo que, tomando$A=O$,

$$g = h_1^2 \circ \cdots \circ h_N^2$$

Por lo tanto podemos concluir que

TEOREMA. Representando en un espacio de dimensión de Hilbert$>1$un grupo de mentiras$G$en términos de operadores unitarios/antiunitarios hasta fases de acuerdo con el teorema de Wigner -- es decir, mediante una representación proyectiva unitaria$G\ni g \mapsto U_g$-- los elementos de la componente conexa de$G$que contiene la identidad sólo puede ser representado por operadores unitarios .

Pueden surgir operadores antiunitarios al representar el grupo de Lie completo si tiene más de un componente conexo. En particular, los elementos que conectan diferentes componentes pueden (pero también no) estar representados por operadores antiunitarios. Un ejemplo típico es la operación de inversión de tiempo en$O(3,1)$que no pertenece a$SO(3,1)_+$.

Quizás la propiedad de continuidad mencionada por Weinberg no se refiera a la representación sino a los elementos del grupo. El componente conectado$G_0$incluyendo el elemento neutro$e$está hecho exactamente de los elementos de$G$que se puede conectar a$e$por medio de una curva continua de elementos de$G$.

El teorema de Wigner dice:

cualquier transformación de simetría del espacio de rayos está representada por una transformación lineal y unitaria o antilineal y antiunitaria del espacio de Hilbert. La representación de un grupo de simetría en el espacio de Hilbert es una representación ordinaria o una representación proyectiva.

Parece probable que el espacio de simetrías del espacio de rayos se divida en dos partes conectadas, una que consiste en transformaciones unitarias y la otra en transformaciones anti-unitarias. Pero esto es, para ser honesto, una reafirmación de lo que dice Weinberg en el extracto que se muestra. La prueba real de esto probablemente se basa en un examen detallado del teorema de Wigner.

Aquí está el artículo de Bargman que prueba el teorema de Wigner; el teorema original se demuestra en el libro de Wigner, Teoría de grupos y su aplicación a la mecánica cuántica de los espectros atómicos .